连续偶数素数对上下包络线

yangchuanju

笔者曾向那宝吉老师请教，“能给出连续偶数哥猜数下包络线的表达式吗？”
那老师（vfbpgyfk）随机在点评中给出：从哥猜角度讲，素数对下限却被能解决，但不必那么繁琐，我论证出的素数对下限公式N/2ln(N)^2就能彻底解决素数下限问题。
看来偶数素数对的下包络线函数式不是这么简单的。

2^n和2p、4p、8p、……型偶数的双计素数对（哥猜数）等于N/2*∏(p-2)/p；
这里的2p、4p、8p、……不是说系数可以是2的任意次方，而是系数不能大于p自身；
例p=3时只有一个2*3=6，p=5时可以有2*5=10,4*5=20两个偶数，p=7时也是两个偶数2*7=14,4*7=28；
p=11,13时系数可取2,4,8三个；p=17,19,23,29,31时系数可以取2,4,8,16四个；……
第一行中2p、4p、8p中的p指素数（质数），后面∏(p-2)/p中的p指偶数N平方根以内的奇素数。
这两种偶数的素数对都不出现波动因子∏(p-1)/(p-2)，相当于相邻偶数的素数对是最少的。
如果按2^n对偶数进行分段2-4-8-16-32-……，则联结各个偶数的素数对可形成一条曲线；
如果按2p、4p、8p、……对偶数进行分段6-10-14-20-22-26-28-34-38-……，则联结各个偶数的素数对也可形成一条曲线；
上述两条曲线是相互交叉的，都不是偶数素数对的下包络线。

尚若按2^n分区，则2^n的素数对不是偶数素数对的下包络线：
4-6区间哥猜数最小值1出现在4处，5也是1；
8-14区间哥猜数最小值1出现在8处，12也是1；
16-30区间哥猜数最小值2出现在16处，18,20,28也是2；
32-62区间哥猜数最小值2出现在32处，38也是2；
64-126区间哥猜数最小值2出现在68=4*17处，而64为6，另有98为3；
128-254区间哥猜数最小值3出现在128处，
256-510区间哥猜数最小值6出现在332处，而256哥猜数为8；……

尚若按素数的2倍分区，2p的素数对在各个分区往往不是最小的，且素数对不是连续增大的，2p的素数对不是偶数素数对的下包络线。
A000040        A116619                               
素数        2p哥猜数        素数        2p哥猜数        素数        2p哥猜数
1 2        1 1        11 31        11 3        21 73        21 6
2 3        2 1        12 37        12 5        22 79        22 5
3 5        3 2        13 41        13 5        23 83        23 6
4 7        4 2        14 43        14 5        24 89        24 7
5 11        5 3        15 47        15 5        25 97        25 7
6 13        6 3        16 53        16 6        26 101        26 9
7 17        7 4        17 59        17 6        27 103        27 7
8 19        8 2        18 61        18 4        28 107        28 8
9 23        9 4        19 67        19 6        29 109        29 7
10 29        10 4        20 71        20 8        30 113        30 7

如果将上述两类偶数从小到大依次排列成2-4-6-8-10-14-16-20-22-26-28-32-34-38-……，包括部分4p、8p等偶数的素数对；
联结各个偶数的素数对（可能需要舍弃最前面的几个小偶数）的曲线也不是下包络线。
在上面的各个偶数段内还有素数对更小的偶数。

尚若按素数的平方分区，各区最小偶数是p^2+1，但该区最小哥猜数不是p^2+1，p^2+1的素数对也不是下包络线：
10-24区间哥猜数最小值1出现在12=4*3处，而10为2，16为2；
26-48区间哥猜数最小值2出现在28=4*7处，而26为3，32为2；
50-120区间哥猜数最小值2出现在68=4*17处，而50为4，64为5，还有98为3；
122-168区间哥猜数最小值3出现在128=2^7处，而122为4；
170-288区间哥猜数最小值5出现在188=4*47处，而170为9，256为8；……

yangchuanju

经反复探讨，笔者认为偶数素数对（哥猜数）的下包络线应是A000954给出的恰n种素数对的最大偶数：
0 2        10 632        20 1448        30 2456        40 3632        50 4688
1 12        11 692        21 1718        31 2936        41 3548        51 5078
2 68        12 626        22 1532        32 2504        42 3754        52 5468
3 128        13 992        23 1604        33 2588        43 4022        53 5288
4 152        14 878        24 1682        34 2978        44 4058        54 5528
5 188        15 908        25 2048        35 3092        45 4412        55 5948
6 332        16 1112        26 2252        36 3032        46 4448        56 5618
7 398        17 998        27 2078        37 3218        47 4174        57 5378
8 368        18 1412        28 2672        38 3272        48 4478        58 5732
9 488        19 1202        29 2642        39 3296        49 4472        59 6068


素数对等于0的偶数只有1个2；素数对等于1的有4个：4,6,8,12；
素数对等于2的有9个：10,14,16,18,20,28,32,38,68；
素数对等于3的有11个：22,24,26,30,40,44,52,56,62,98,128；……
联结偶数2；4,6,8,12；14,16,18,20,28,32,38,68；98,128；……
的素数对数点0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3，……；
即得一条逐渐升高的阶梯型曲线，该阶梯型曲线才是连续偶数素数对的下包络线。

偶数        素数对        偶数        素数对        偶数        素数对        偶数        素数对        偶数        素数对
2        0        42        4        72        6        232        7        170        9
4        1        46        4        100        6        272        7        196        9
6        1        50        4        106        6        278        7        202        9
8        1        58        4        110        6        326        7        220        9
12        1        80        4        116        6        398        7        230        9
10        2        88        4        118        6        84        8        236        9
14        2        92        4        134        6        102        8        238        9
16        2        122        4        146        6        108        8        244        9
18        2        152        4        166        6        138        8        250        9
20        2        48        5        172        6        142        8        254        9
28        2        54        5        182        6        154        8        262        9
32        2        64        5        212        6        160        8        268        9
38        2        70        5        248        6        184        8        302        9
68        2        74        5        332        6        190        8        314        9
22        3        76        5        78        7        200        8        338        9
24        3        82        5        96        7        214        8        346        9
26        3        86        5        112        7        242        8        356        9
30        3        94        5        130        7        256        8        388        9
40        3        104        5        140        7        266        8        428        9
44        3        124        5        176        7        284        8        458        9
52        3        136        5        178        7        292        8        488        9
56        3        148        5        194        7        296        8        114        10
62        3        158        5        206        7        308        8        126        10
98        3        164        5        208        7        362        8        162        10
128        3        188        5        218        7        368        8        260        10
34        4        60        6        224        7        90        9        290        10
36        4        66        6        226        7        132        9        304        10

yangchuanju

上述偶数的素数对不都是N/2ln(N)^2，故N/2ln(N) ^2不是连续偶数素数对的下包络线。

请那老师审核！

yangchuanju

现对A000954提供的5001个素数对分别为0-5000的最大偶数进行分析，
这5001个偶数并不是一路渐增的，内有2362个偶增为负值的，即这些偶数是波浪式的增大的。
例398的素数对为7，368的素数对为8，画素数对下包络线时368的8点不再出现在下包络线上。
另据分析素数对等于1的有4个：4,6,8,12；素数对等于2的有9个：10,14,16,18,20,28,32,38,68；
除10因小于12外其余12个偶数的1点和2点都下包络线上；
素数对等于3的有11个：22,24,26,30,40,44,52,56,62,98,128；大于68的只有2个偶数，故出现在下包络线上的3点只有2个。

画下包络线时，偶数需是一路增大的；素数对也需是一路增大的，可以有多个相同的素数对点；
据此所画出的台阶式的下包络线位于所有偶数素数对点的下面，并通过了所有素数对最小的各个点。

在对各个偶数的素数对与N/2/ln(N)^2进行比对，素数对均大于N/2/ln(N)^2，
N/2/ln(N)^2与素数对的比值由N=12时的0.97波动式地减少到N=1299244时的0.656，平均比值是0.6155；
以上是N/2/ln(N)^2与单计素数对的比值，若改为双计素数对，则下限式应改为N/ln(N)^2。

yangchuanju

素数对        偶数        偶增        N/2/ln(N)^2        素数对-计算式        分解式
0        2        ——        2.08         ——        ——
1        12        10        0.97         0.03         12=2*2*3
2        68        56        1.91         0.09         68=2*2*17
3        128        60        2.72         0.28         128=2*2*2*2*2*2*2
4        152        24        3.01         0.99         152=2*2*2*19
5        188        36        3.43         1.57         188=2*2*47
6        332        144        4.93         1.07         332=2*2*83
7        398        66        5.55         1.45         398=2*199
8        368        -30        5.27         2.73         368=2*2*2*2*23
9        488        120        6.37         2.63         488=2*2*2*61
10        632        144        7.60         2.40         632=2*2*2*79
11        692        60        8.09         2.91         692=2*2*173
12        626        -66        7.55         4.45         626=2*313
13        992        366        10.42         2.58         992=2*2*2*2*2*31
14        878        -114        9.56         4.44         878=2*439
15        908        30        9.79         5.21         908=2*2*227
16        1112        204        11.30         4.70         1112=2*2*2*139
17        998        -114        10.46         6.54         998=2*499
18        1412        414        13.42         4.58         1412=2*2*353
19        1202        -210        11.95         7.05         1202=2*601
20        1448        246        13.67         6.33         1448=2*2*2*181
21        1718        270        15.48         5.52         1718=2*859
22        1532        -186        14.24         7.76         1532=2*2*383
23        1604        72        14.72         8.28         1604=2*2*401
24        1682        78        15.24         8.76         1682=2*29*29
25        2048        366        17.61         7.39         2048=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2
26        2252        204        18.90         7.10         2252=2*2*563
27        2078        -174        17.80         9.20         2078=2*1039
28        2672        594        21.46         6.54         2672=2*2*2*2*167
29        2642        -30        21.28         7.72         2642=2*1321
30        2456        -186        20.15         9.85         2456=2*2*2*307
31        2936        480        23.02         7.98         2936=2*2*2*367
32        2504        -432        20.44         11.56         2504=2*2*2*313
33        2588        84        20.95         12.05         2588=2*2*647
34        2978        390        23.27         10.73         2978=2*1489
35        3092        114        23.94         11.06         3092=2*2*773
36        3032        -60        23.59         12.41         3032=2*2*2*379
37        3218        186        24.67         12.33         3218=2*1609
38        3272        54        24.98         13.02         3272=2*2*2*409
39        3296        24        25.12         13.88         3296=2*2*2*2*2*103
40        3632        336        27.02         12.98         3632=2*2*2*2*227
41        3548        -84        26.55         14.45         3548=2*2*887
42        3754        206        27.71         14.29         3754=2*1877
43        4022        268        29.19         13.81         4022=2*2011
44        4058        36        29.39         14.61         4058=2*2029
45        4412        354        31.32         13.68         4412=2*2*1103
46        4448        36        31.52         14.48         4448=2*2*2*2*2*139
47        4174        -274        30.03         16.97         4174=2*2087
48        4478        304        31.68         16.32         4478=2*2239
49        4472        -6        31.65         17.35         4472=2*2*2*13*43
50        4688        216        32.81         17.19         4688=2*2*2*2*293
51        5078        390        34.87         16.13         5078=2*2539
52        5468        390        36.91         15.09         5468=2*2*1367
53        5288        -180        35.97         17.03         5288=2*2*2*661
54        5528        240        37.22         16.78         5528=2*2*2*691
55        5948        420        39.37         15.63         5948=2*2*1487
56        5618        -330        37.68         18.32         5618=2*53*53
57        5378        -240        36.44         20.56         5378=2*2689
58        5732        354        38.27         19.73         5732=2*2*1433
59        6068        336        39.99         19.01         6068=2*2*37*41
60        6152        84        40.41         19.59         6152=2*2*2*769
61        6368        216        41.50         19.50         6368=2*2*2*2*2*199
62        6002        -366        39.65         22.35         6002=2*3001
63        5996        -6        39.62         23.38         5996=2*2*1499
64        6506        510        42.19         21.81         6506=2*3253
65        6326        -180        41.29         23.71         6326=2*3163
66        6632        306        42.82         23.18         6632=2*2*2*829
67        7292        660        46.09         20.91         7292=2*2*1823
68        7508        216        47.14         20.86         7508=2*2*1877
69        6694        -814        43.13         25.87         6694=2*3347
70        8042        1348        49.73         20.27         8042=2*4021
71        7862        -180        48.86         22.14         7862=2*3931
72        8048        186        49.75         22.25         8048=2*2*2*2*503
73        7724        -324        48.19         24.81         7724=2*2*1931
74        7598        -126        47.58         26.42         7598=2*29*131
75        8552        954        52.16         22.84         8552=2*2*2*1069
76        8378        -174        51.33         24.67         8378=2*59*71
77        9602        1224        57.10         19.90         9602=2*4801
78        8522        -1080        52.02         25.98         8522=2*4261
79        8186        -336        50.42         28.58         8186=2*4093
80        8572        386        52.26         27.74         8572=2*2*2143
81        8564        -8        52.22         28.78         8564=2*2*2141
82        8444        -120        51.65         30.35         8444=2*2*2111
83        8846        402        53.56         29.44         8846=2*4423
84        8972        126        54.15         29.85         8972=2*2*2243
85        9404        432        56.18         28.82         9404=2*2*2351
86        9866        462        58.32         27.68         9866=2*4933
87        9304        -562        55.71         31.29         9304=2*2*2*1163
88        9488        184        56.57         31.43         9488=2*2*2*2*593
89        9368        -120        56.01         32.99         9368=2*2*2*1171
90        9766        398        57.86         32.14         9766=2*19*257
91        9838        72        58.19         32.81         9838=2*4919
92        10544        706        61.44         30.56         10544=2*2*2*2*659
93        10232        -312        60.01         32.99         10232=2*2*2*1279
94        10358        126        60.59         33.41         10358=2*5179
95        10832        474        62.75         32.25         10832=2*2*2*2*677
96        10772        -60        62.48         33.52         10772=2*2*2693
97        10958        186        63.32         33.68         10958=2*5479
98        11672        714        66.54         31.46         11672=2*2*2*1459
99        11156        -516        64.22         34.78         11156=2*2*2789
100        11456        300        65.57         34.43         11456=2*2*2*2*2*2*179
…………

yangchuanju

在对各个偶数的素数对与N/2/ln(N)^2进行比对，素数对均大于N/2/ln(N)^2，
N/2/ln(N)^2与素数对的比值由N=12时的0.97波动式地减少到N=1299244时的0.656，平均比值是0.6155；
以上是N/2/ln(N)^2与单计素数对的比值，若改为双计素数对，则下限式应改为N/ln(N)^2。

下包络线所涉及的偶数大多数是2^n或2^n*p形式的偶数，也有一些2^n*p1*p2形式的偶数，详见分解式列。

那宝吉的N/2/ln(N)^2或N/ln(N)^2可看成是素数对下限的表达式，但不是素数对下包络线的表达式。

重生888@

在代数式N/(lnN)^2前面，（不讲精度）随便加个系数，都是素数对下限式，有何意义？，如此，哈-李早已完成了！

cuikun-186

1.3203N/(lnN)^2
当N=6时，
1.3203*6/（ln6）^2=2.4675…
请问重生888先生，这是6的素对下限值吗？
小偶数时有反例存在，大偶数不可计算获得真值，
请问拿什么数据肯定？

cuikun-186

重生888@ 发表于 2023-2-10 11:05
在代数式N/(lnN)^2前面，（不讲精度）随便加个系数，都是素数对下限式，有何意义？，如此，哈-李早已完成了 ...

1.3203N/(lnN)^2
当N=6时，
1.3203*6/（ln6）^2=2.4675…
请问重生888先生，这是6的素对下限值吗？
小偶数时有反例存在，大偶数不可计算获得真值，
请问拿什么数据肯定？

yangchuanju

上面给出的下包络线是一种台阶式的曲线，尚若不计素数对等于1的4,6,8点，等于2的14,16,18,20,28,32,38点，等于3的98点，……
仅取素数对等于0的偶数2，等于1的偶数12，等于2的偶数68，等于3的偶数128，接下去是4-152,5-188,6-332,7-398,9-488,10-632,11-692,15-908，……
用一种平滑曲线联结各个点，则成为一条真正的连续偶数素数对的下包络线。
现已查明，连续偶数素数对的下包络线由A174327和A174328给出的。素数对数从0到9551，偶数从2到280 6592，各1000组数字。
表中的数字是A000954数字中的记录值。