与王守恩讨论X^8+Y^7=Z^8

lusishun

的解的求法

lusishun

设m=c^8-a^8，
两边同乘以m^48，得
（am^6）^8+（m^7）^7=（cm^6）^8，
得：
X=am^6，
Y=m^7，
Z=cm^6，

取a=1，c=2，则m=255
X=255^6，
Y=255^7，
Z=2·255^6.

王守恩先生是不是可以再给出一组更小解啊？

王守恩

取a=1，c=2，则m=255
X=255^6，
Y=255^7，
Z=2·255^6.

王守恩先生是不是可以再给出一组更小解啊？

谢谢 lusishun 抬举！我还是给不出一组更小解。

楼主应该还隐藏了什么法宝，我没领会。

\(1^1+1^0=2^1\)

\(1^2+3^1=2^2\)

\(7^3+13^2=8^3\)

\(100^4+2000^3=300^4\)

\(X^5+Y^4=Z^5\)

\(64827^6+1361367^5=129654^6\)

\(X^7+Y^6=Z^7\)

\((255^6)^8+(255^6)^7=(2*255^6)^8\)

\(X^9+Y^8=Z^9\)

.......

lusishun

王守恩 发表于 2023-2-12 08:05
取a=1，c=2，则m=255
X=255^6，
Y=255^7，

很好，您给的几个题目的解，说明了公式以外，仍有解，当然是对于的是特殊数

王守恩

谢谢  lusishun！楼主应该还隐藏了什么法宝，我没领会。

\(\big(\frac{(2^{100}-1)^{98}}{25^{99}}\big)^{100}+\big(\frac{(2^{100}-1)^{99}}{25^{100}}\big)^{99}=\big(2*\frac{(2^{100}-1)^{98}}{25^{99}}\big)^{100}\)

lusishun

王守恩 发表于 2023-2-13 00:32
谢谢  lusishun！楼主应该还隐藏了什么法宝，我没领会。

\(\big(\frac{(2^{100}-1)^{98}}{25^{99}}\big) ...

没有法宝，就是程中占先生的“整体换元法”

王守恩

找了一天。

\(968^5+21296^4=2904^5\)

王守恩

如果你没有法宝，这就是最小解( z 是最小)。

\(1^1+1^0=2^1\)

\(1^2+3^1=2^2\)

\(7^3+13^2=8^3\)

\(100^4+2000^3=300^4\)

\(968^5+21296^4=2904^5\)

\(64827^6+1361367^5=129654^6\)

\(33038369407^7+(127*33038369407)^6=(2*33038369407)^7\)

\((255^6)^8+(255^6)^7=(2*255^6)^8\)

\(99098007718612700671^9+(511*9098007718612700671)^8=(2*9098007718612700671)^9\)

王守恩

\(对特殊的一些数, 我们还是能找到最小解(z是最小)：\)

\(x^a+y^b=z^c 满足:\  u=v*c-1=s*LCM(a,b) \)

\(则: \ x=2^{u/a},y=2^{u/b},z=2^{v}\ \ 是最小解。\)

王守恩

王守恩 发表于 2023-2-15 09:54
\(对特殊的一些数, 我们还是能找到最小解(z是最小)：\)

\(x^a+y^b=z^c 满足:\  u=v*c-1=s*LCM(a,b) \)

简单才是最好！这是最小解。

\((2^2)^{0}+(2^0)^{2}=(2^1)^{1}\)
\((2^3)^{1}+(2^1)^{3}=(2^2)^{2}\)
\((2^4)^{2}+(2^2)^{4}=(2^3)^{3}\)
\((2^5)^{3}+(2^3)^{5}=(2^4)^{4}\)
\((2^6)^{4}+(2^4)^{6}=(2^5)^{5}\)
\((2^7)^{5}+(2^5)^{7}=(2^6)^{6}\)
\((2^8)^{6}+(2^6)^{8}=(2^7)^{7}\)
\((2^9)^{7}+(2^7)^{9}=(2^8)^{8}\)