完美立方体不存在

yangchuanju

完美立方体
五个简单但是数学家不能解决的问题（3）：完美立方体问题
话说在1719年，一个叫Paul Halcke的会计，也为专天文学家计算的工程师发现了三个数字，44,117, 240。如果你把这三个数任取两个，求平方和，结果仍旧是一个完全平方数。
如果你把这三个数作为一个长方体的三条边，你会发现这个长方体不但所有边是整数，所有面的对角线也是整数。符合这种条件的长方体称为欧拉砖。

完美立方体是啥呢：找一个欧拉砖，使体对角线也是整数！
数学家至今没有找到这样的三元组，也不能证明它不存在。

yangchuanju

据网页https://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html资料有
完美长方体
图片复制不下来，故忽略。
完美长方体是具有整数边长、整数面对角线的长方体
Dab=√(a^2+b^2)
Dac=√(a^2+c^2)
Dbc=√(b^2+c^2       
                       
和一个整数空间对角线
Dabc=√(a^2+b^2+c^2)
       
找到这样一个长方体的问题也称为积木问题、对角线问题、完美盒子问题、完美长方体问题或有理长方体问题。
尽管对所有“奇数边”进行了详尽的搜索，但直到10^10 （巴特勒，私人通讯，2004 年 12 月 23 日），仍未发现完美的长方体。
求解完美长方体问题等同于求解丢番图方程
A^2+B^2=C^2
A^2+D^2=E^2
B^2+D^2=F^2
B^2+E^2=G^2

具有整数空间对角线和两条面对角线的解是a=672、b=153、c=104、Dab=3*√52777、Dac=680、Dbc=185和Dabc=697，这是欧拉已知的。
具有整数空间对角线和三条面对角线的解是a=18720、b=√211773121、c=7800、Dab=23711、Dac=20280、Dbc=16511和Dabc=24961。

yangchuanju

据网页https://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html资料有
欧拉砖
图片复制不下来，故忽略。
欧拉砖是具有整数边和面对角线的长方体a>b>c
Dab=√(a^2+b^2)
Dac=√(a^2+c^2)
Dbc=√(b^2+c^2
如果空间对角线也是整数，则欧拉砖被称为完美长方体，尽管目前还没有完美长方体的例子。
最小的欧拉砖具有边(a,b,c)=(240,117,44)和面对角线Dab=267,Dac=244和Dbc=125，由 Halcke 发现（1719 年；Dickson 2005 年，第 497-500 页）。
Kraitchik 给出了 257 个奇数 边小于 100 万的长方体（Guy 1994，p.174）。F. Helenius 编制了一份 5003 块最小（按最长边测量）欧拉砖的清单。前几个是 (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160), ... (OEIS A031173、A031174和A031175）。
18 世纪对这个问题的兴趣很高，Saunderson (1740) 发现了一个参数解总是给出欧拉砖（但不是给出所有可能的 欧拉砖），而在 1770 年和 1772 年，欧拉至少找到了两个参数解。Saunderson 的解设(a’,b’,c’) 是一个毕达哥拉斯三元组，然后
(a,b,c)=[a’*(4b’^2-c’^2),b’*(4a’^2-c’^2],4a’b’c’]
及面对角线的欧拉砖
Dab=c’^3
Dac=a’*(4b’^2+c’^2)
Dbc=b’*(4a’^2+c’^2)
（Saunderson 1740；Dickson 2005，第 497 页）。

ysr

yangchuanju 发表于 2023-2-12 04:32
据网页https://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html资料有
欧拉砖
图片复制不下来，故忽略。

谢谢朋友关心和指导！差一根线段不是整数的长方体有很多，可以是无穷多的。
体对角线是整数的长方体也是无穷多的。
比如：
有15组/227648265625=477125^2=17582760000+94941015625+115124490000=132600^2+308125^2+339300^2
/227648265625=477125^2=17582760000+115124490000+94941015625=132600^2+339300^2+308125^2
/280566199225=529685^2=50317219225+115124490000+115124490000=224315^2+339300^2+339300^2
/378920269225=615565^2=50317219225+154213290000+174389760000=224315^2+392700^2+417600^2
/378920269225=615565^2=50317219225+174389760000+154213290000=224315^2+417600^2+392700^2
/227648265625=477125^2=94941015625+17582760000+115124490000=308125^2+132600^2+339300^2
/227648265625=477125^2=94941015625+115124490000+17582760000=308125^2+339300^2+132600^2
/227648265625=477125^2=115124490000+17582760000+94941015625=339300^2+132600^2+308125^2
/280566199225=529685^2=115124490000+50317219225+115124490000=339300^2+224315^2+339300^2
/227648265625=477125^2=115124490000+94941015625+17582760000=339300^2+308125^2+132600^2
/280566199225=529685^2=115124490000+115124490000+50317219225=339300^2+339300^2+224315^2
/378920269225=615565^2=154213290000+50317219225+174389760000=392700^2+224315^2+417600^2
/378920269225=615565^2=154213290000+174389760000+50317219225=392700^2+417600^2+224315^2
/378920269225=615565^2=174389760000+50317219225+154213290000=417600^2+224315^2+392700^2
/378920269225=615565^2=174389760000+154213290000+50317219225=417600^2+392700^2+224315^2
/平方数5219^2的拆分解有:1组/5219^2=2456^2+4605^2

yangchuanju

A031173        A031174        A031175
欧拉砖长        宽        高
1 240        1 117        1 44
2 275        2 252        2 240
3 693        3 480        3 140
4 720        4 132        4 85
5 792        5 231        5 160
6 1155        6 1100        6 1008
7 1584        7 1020        7 187
8 2340        8 880        8 429
9 2640        9 855        9 832
10 2992        10 2475        10 780
11 3120        11 2035        11 828
12 5984        12 2295        12 1560
13 6325        13 5796        13 528
14 6336        14 748        14 195
15 6688        15 6300        15 1155
16 6732        16 4576        16 1755
17 8160        17 4888        17 495
18 9120        18 1672        18 1575
19 9405        19 9152        19 2964
20 10725        20 9828        20 7840
21 11220        21 3536        21 2925
22 12075        22 1100        22 1008
23 13860        23 4901        23 4368
24 14560        24 1881        24 1080
25 16800        25 11753        25 10296
26 17472        26 8820        26 7579
27 17748        27 10560        27 8789
28 18560        28 16929        28 6072
29 19305        29 15400        29 14112
30 21476        30 14160        30 5643
31 23760        31 18368        31 4599
32 23760        32 17157        32 4900
33 24684        33 24080        33 6435
34 25704        34 17472        34 935
35 26649        35 15232        35 7920
36 29920        36 23751        36 7800
37 30780        37 10725        37 4928
38 35321        38 13728        38 7560
39 35604        39 35075        39 23760
40 35904        40 9360        40 1105
41 37100        41 15840        41 2163
42 38475        42 6160        42 2964
43 38571        43 25740        43 21328
44 39195        44 16016        44 1188
45 46512        45 41580        45 5491
46 48720        46 18460        46 15939
47 51324        47 51205        47 36432
48 51480        48 24225        48 22304
49 53196        49 23600        49 9405
50 57275        50 36960        50 8532
51 59040        51 54280        51 42471
52 61845        52 31372        52 9504
53 62160        53 42372        53 27755
54 62205        54 55440        54 19604
55 65472        55 44080        55 2079
56 67575        56 33120        56 23936
57 70752        57 30636        57 24035
58 76076        58 43680        58 5643
59 79040        59 54288        59 35409
60 83475        60 29568        60 14500
61 83520        61 69513        61 41360
62 85800        62 51129        62 30080
63 85932        63 16320        63 7885
64 90576        64 71060        64 18525
65 98549        65 62832        65 16380
66 105820        66 43056        66 28083
67 107712        67 84840        67 47975
68 109340        68 83952        68 52611
69 121940        69 9045        69 3696
70 137904        70 100100        70 30195
71 138516        71 69355        71 28512
72 141120        72 121264        72 61215
73 141284        73 77805        73 30240
74 141680        74 110979        74 68172
75 144832        75 23760        75 4599
76 148005        76 122636        76 81840
77 151525        77 56640        77 22572
78 156032        78 90480        78 29601
79 156519        79 106392        79 47200
80 157248        80 8415        80 5720
81 165528        81 154671        81 58400
82 166320        82 21964        82 19635
83 176176        83 50880        83 26775
84 176800        84 122760        84 111159
85 177177        85 47736        85 38080
86 179333        86 109140        86 25344
87 194220        87 161040        87 117469
88 200583        88 61560        88 9856
89 206448        89 72611        89 9180
90 207900        90 100035        90 16016
91 209440        91 166257        91 100776
92 211200        92 200385        92 169312
93 214305        93 122760        93 46816
94 220400        94 95004        94 10395
95 227799        95 181720        95 48960
96 237120        96 154660        96 106227
97 241072        97 134805        97 118404
98 245440        98 188859        98 97812
99 247940        99 128205        99 28704
100 252000        100 190405        100 102828
101 262080        101 201663        101 186416
102 264404        102 100320        102 17325
103 267120        103 148148        103 14715
104 272580        104 167440        104 131157
105 273581        105 95040        105 25908
106 274275        106 198220        106 97152
107 277160        107 66495        107 53856
108 281808        108 103075        108 28644
109 289800        109 212160        109 108031
110 290444        110 36720        110 12915
111 293040        111 223104        111 209825
112 293832        112 112320        112 19175
113 299145        113 66976        113 34632
114 301645        114 204336        114 201300
115 302176        115 52185        115 19800
116 305877        116 147600        116 135700
117 308880        117 17792        117 15225
118 313472        118 146160        118 66495
119 315180        119 240240        119 42653
120 316635        120 204516        120 120320
121 323323        121 300900        121 112320
122 327360        122 63364        122 10395
123 332112        123 86580        123 67925
124 332384        124 33660        124 20163
125 339552        125 169600        125 32175
126 353760        126 63063        126 5320
127 358512        127 62900        127 34965
128 360360        128 169575        128 49088
129 361665        129 116928        129 57904
130 362080        130 59400        130 33201
131 362848        131 145464        131 62415
132 364320        132 54784        132 54087
133 369984        133 287287        133 216720
134 375232        134 219600        134 160185
135 376363        135 205920        135 96900
136 378000        136 279744        136 217217
137 379008        137 350020        137 331485
138 394196        138 102765        138 65520
139 402696        139 209385        139 119680
140 404700        140 363440        140 144837
141 406315        141 134064        141 34452
142 408096        142 330372        142 115115
143 414869        143 327600        143 294492
144 421344        144 222200        144 206625
145 422300        145 332469        145 314160
146 425568        146 412920        146 61975
147 427200        147 49896        147 32375
148 429520        148 171171        148 112860
149 432960        149 108405        149 83804
150 434304        150 224025        150 215072
151 446600        151 103095        151 66528
152 450225        152 163680        152 5368
153 450360        153 255200        153 117711
154 455532        154 149600        154 118755
155 457840        155 237120        155 182457
156 462825        156 130152        156 109600
157 467016        157 200385        157 169312
158 469395        158 413364        158 75152
159 474145        159 143640        159 72864
160 480480        160 274527        160 7336
161 486875        161 250800        161 108108
162 495349        162 215760        162 180180
163 500175        163 229824        163 80080
164 503685        164 343476        164 102080
165 511980        165 326128        165 72765
166 518661        166 271040        166 230100
167 526680        167 274911        167 157760
168 533052        168 495264        168 168245
169 536877        169 452100        169 127136
170 536900        170 141075        170 129888
171 539847        171 63296        171 42240
172 544544        172 431460        172 218595
173 550116        173 371280        173 272987
174 556160        174 187488        174 84609
175 556320        175 164164        175 96075
176 564311        176 459360        176 128520
177 570505        177 411840        177 164808
178 573040        178 62700        178 27027
179 587100        179 163152        179 59675
180 599748        180 566720        180 69165
181 600357        181 570960        181 153076
182 609620        182 524349        182 273840
183 611325        183 562848        183 264860
184 616605        184 134064        184 70700
185 627628        185 508635        185 497904
186 638685        186 102256        186 86508
187 643720        187 157248        187 8415
188 644688        188 631125        188 209300
189 645696        189 326895        189 211640
190 645975        190 256360        190 230112
191 653200        191 460845        191 233772
192 654720        192 295460        192 99603
193 657041        193 465120        193 251160
194 673475        194 99360        194 77268
195 684400        195 272745        195 101952
196 691008        196 477369        196 263120
197 691708        197 199056        197 100125
198 712725        198 643104        198 102340
199 713952        199 560120        199 242535
200 729144        200 300608        200 58425
201 732480        201 574425        201 134288
202 746592        202 694260        202 366125
203 748880        203 225492        203 118035
204 750295        204 308448        204 154440
205 752284        205 301587        205 156960
206 753984        206 426360        206 335825
207 761904        207 684372        207 219965
208 767052        208 615195        208 322400
209 769360        209 306603        209 77004
210 770880        210 325008        210 213785
211 791120        211 201285        211 95004
212 799389        212 452980        212 351648
213 806949        213 437360        213 284700
214 807675        214 401212        214 252000
215 811965        215 272844        215 181792
216 820820        216 302064        216 60885
217 833745        217 504648        217 492800
218 839520        218 810568        218 85425
219 839575        219 272832        219 216720
220 845020        220 361200        220 151803
221 848160        221 625053        221 277300
222 850080        222 22473        222 20864
223 851499        223 799920        223 580060
224 859815        224 313896        224 68672
225 880992        225 641355        225 509860
226 892620        226 442035        226 142912
227 900592        227 240669        227 234780
228 914048        228 526311        228 245520
229 918099        229 265980        229 118000
230 933075        230 837540        230 332384
231 935715        231 380380        231 80496
232 937860        232 568480        232 451269
233 942480        233 593676        233 157157
234 946608        234 835380        234 617419
235 948948        235 430355        235 134640
236 950300        236 857472        236 296829
237 968253        237 430996        237 328320
238 970596        238 277200        238 200165
239 970783        239 542400        239 66456
240 979440        240 613795        240 471276
241 983680        241 321816        241 186615
242 996740        242 875472        242 489555
243 1000800        243 461619        243 261580
244 1018875        244 748836        244 744800
245 1019711        245 553320        245 354240
246 1025904        246 556605        246 457028
247 1029600        247 943488        247 908105
248 1041392        248 240900        248 101565
249 1049040        249 992405        249 914628
250 1050192        250 303195        250 66700
251 1050960        251 343827        251 149500
252 1073995        252 869856        252 208692
253 1095633        253 506456        253 390720
254 1096480        254 117117        254 85956
255 1110675        255 269072        255 180180
256 1110720        256 689481        256 146960
257 1128524        257 570843        257 234960
258 1131020        258 209328        258 100485
259 1146845        259 576972        259 425040
260 1165104        260 315172        260 221805
261 1175300        261 1029600        261 720291
262 1175328        262 576375        262 204160
263 1178931        263 654192        263 525460
264 1190160        264 426880        264 389367
265 1198925        265 669120        265 282348
266 1227600        266 481740        266 119669
267 1227600        267 1163085        267 905324
268 1244484        268 269280        268 37835
269 1244760        269 865305        269 83776
270 1276704        270 191620        270 185925
271 1277980        271 210672        271 46371
272 1280916        272 1067605        272 116688
273 1283100        273 1153427        273 910800
274 1308944        274 263835        274 97092
275 1309176        275 1107743        275 1071840
276 1329328        276 759360        276 561105
277 1339464        277 853655        277 812448
278 1343320        278 667575        278 390816
279 1356075        279 1306396        279 459360
280 1374891        280 720720        280 422812
281 1392075        281 1330560        281 249964
282 1399200        282 191065        282 81576
283 1427415        283 312280        283 41184
284 1451120        284 806652        284 141525
285 1475760        285 774180        285 260107
286 1490020        286 934800        286 354123
287 1491903        287 1316480        287 801360
288 1492920        288 237575        288 214368
289 1550736        289 483840        289 331177
290 1565200        290 1239315        290 759924
291 1570016        291 603075        291 84420
292 1589060        292 1307859        292 619920
293 1591744        293 737880        293 137025
294 1600435        294 211068        294 46176
295 1601145        295 1383360        295 662704
296 1608880        296 485316        296 352275
297 1621477        297 789264        297 664020
298 1622304        298 1498380        298 153725
299 1623888        299 773300        299 191709
300 1645699        300 1407120        300 933660

ysr

欧拉砖——缺一条整数空间对角线，无穷多；另缺一条整数面对角线的，或缺一条整数边的都是无穷大。  发表于 2023-2-12 04:55  回复您的点评：

谢谢指导！我就是找到许多这样的长方体，调整好了一条，另一条线段就不对了，总是至少会有一条不是整数，棱长全是10^10以上的，则算的费劲，仅仅算了大约10000个，没有解，没有出来7条线段都是整数的

yangchuanju

ysr 发表于 2023-2-12 13:11
欧拉砖——缺一条整数空间对角线，无穷多；另缺一条整数面对角线的，或缺一条整数边的都是无穷大。  发表于 ...

完美立方体可能不存在，因为在10^10以内没有找到3边+3面对角线+1体对角线都是整数的立方体，但也无人给出证明它确实不存在。
缺一条体对角线的立方体无穷多，就是欧拉砖，从网上可以找到3556组欧拉砖数据；
缺一条边或缺一条面对角线的立方体也应该大量存在，但网页https://mathworld.wolfram.com/PerfectCuboid.html
仅给出这样的数值各一组，见2楼贴。

王老师（ysr）已经计算出了大量的缺3条面对角线的立方体数据，其中有没有只缺一条面对角线的立方体呢？有兴趣从中找一找吗？
还有王老师有兴趣找一找只缺一条整数边的立方体吗？

yangchuanju

Treenewbee公式：
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(a^2+b^2-c^2-d^2) ^2+4(ac+bd) ^2+4(ad-bc) ^2
应该就是缺三条面对角线的数据吧！

yangchuanju

(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4(ac+bd)^2+4(ad-bc)^2
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2+2a^2*c^2+2a^2*d^2+2b^2*c^2+2b^2*d^2+2c^2*d^2
(a^2+b^2-c^2-d^2)^2=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2
4(ac+bd)^2+4(ad-bc)^2=4*a^2*c^2+4*b^2*d^2+4*a^2*d^2+4*b^2*c^2  （加减8abcd项抵消）
右三项相加等于左项。
右后两项最终是4个平方数之和，一般不会是一个完全平方数，该面对角线不是整数。

(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4(ac+bd)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2
+4*a^2*c^2+4*b^2*d^2+8abcd
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2+2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2+2b^2*d^2+2c^2*d^2+8abcd

(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4(ad-bc)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2-2a^2*d^2-2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2
+4*a^2*d^2+4*b^2*c^2-8abcd
=a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2*b^2-2a^2*c^2+2a^2*d^2+2b^2*c^2-2b^2*d^2+2c^2*d^2-8abcd
右12项、13项和中各含一个8abcd项，一般也不会是平方数。

yangchuanju

Saunderson 的解设(a’,b’,c’) 是一个毕达哥拉斯三元组，然后
(a,b,c)=[a’*(4b’^2-c’^2),  b’*(4a’^2-c’^2],  4a’b’c’]
及面对角线的欧拉砖
Dab=c’^3  
Dac=a’*(4b’^2+c’^2)  
Dbc=b’*(4a’^2+c’^2)

令a’,b’,c’=3,4,5则
A=3*(4*4^2-5^2)=117,  B=4*(4*3^2-5^2)=44,  C=4*3*4*5=240
Dab=c’^3=5^3=125,  Dac=3*(4*4^2+5^2)=3*89=267,  Dbc=4*(4*3^2+5^2)=4*61=244
Dabc=(13689+1936+57600)^0.5=73225^0.5=270.60118