数学是什么的问题从来都不应该有一个固定不变的定义

金瑞生

        我认为：不管谁给出的数学是什么的定义，即使给出的时候是正确的，但是随着时代的发展和数学的进步，该定义都会都会落后于时代，必须重新给予定义。

elim

数学如此，其他学是否也如此？接着你大概就要说，要定义干吗？

数学的定义是会与时俱进，但都须反映其本质，不会在到底以观念世界还是现实世界为论域的问题上摆过来摆过去的。换句话说，定义的演进方向是趋于精确全面，与语言俱进。这种演进会趋向停滞。因为数学基础的主要部分已经尘埃落定。

elim

中国人习惯于随朝代变换改变口径，数学家喜欢一言九鼎。

金瑞生

elim 发表于 2023-2-16 06:35
数学如此，其他学是否也如此？接着你大概就要说，要定义干吗？

数学的定义是会与时俱进，但都须反映其本 ...

尊敬的elim先生：您好！
     定义和公理是数学的基础，这与其它学科不一样：只要 定义和公理定了，经过一系列严密的推理论证，数学的这门学科就 基本定型了。就像改变了直线定义和公理，就诞生了一门仿射几何。所以作为数学的研究者一定要研究数学的各种定义和公理。当然我们也要关注改变定义的行为和目的：如果改变定义只是为了否定和诽谤前辈的数学成果，这是我们必须坚决反对的。如果改变定义和公理可以带来新学科，这就是我们必须大力倡导和支持的。
      我研究的整式代数统一解法原理就是这样。伽罗瓦理论告诉我们：一般五次及五次以上代数方程没有公式解。那么根源在哪？我经过全面系统的分析后认为：问题出在正整数次方根上，整式代数方程要建立像线性方程组那样机械、统一的解法，必须建立新的根号系统，包括总根号、实根号、分根号等，其中总根号是由方程所有复根组成的集合，这是一个允许有重元的集合，并集的模型是两个多项式乘积的所有复根组成的集合；交集的模型是两个多项式的方程组所有复数解组成的集合，并研究这一新”集合“运算律。正是这一新集合论和新根号系统使整式代数方程统一解法原理的研究有了强有力的数学工具。
       新集合论与Cantor集合论的并与交在代数方程方面的比较: Cantor集合并集模型是两个多项式乘积的所有各不相同的复根组成的集合；交集的模型是两个多项式的方程组所有各不相同复数解组成的集合，两者的并与交本质是不同的，也不会混淆。
      先生关于定义的说法我基本赞同，但对先生说”这种演进会趋向停滞。因为数学基础的主要部分已经尘埃落定。”的观点表示反对：一是与我们所处的时代要求不符合，比如类似：“只有Cantor集合才是集合”的落后定义在数学中不会少见，每破除一个就会给数学带来一个大发展；二是与数学本身的发展不相符合：数学目前不能解决的难题数不胜数，时代的发展也会给数学源源不断提供难题，每破解一个这样的难题也会给数学的发展提供动力。因此我的观点是：数学正在迎来一个知识大爆炸的时代，就看研究者有没有抓住这一千载难逢的机遇。

任在深

《中华单位论》关于纯粹数学的定义：
   1.纯粹数学：关于宇宙空间形的结构和结构关系的科学！

任在深

《中华单位论》关于纯粹数学的定义：
   1.纯粹数学：关于宇宙空间形的结构和结构关系的科学！
请注意！
              万物皆数！万数皆形！
请看！！

              《中华单位论》之中华宇宙数数模：

其中：
            AB=BC=CD=DA=√2n
            JI=IK=KQ=QI=√n           n=1,2,3......∞
            

jzkyllcjl

elim说：柯朗的书对普通人还是有帮助的。从柯朗的书不难看出，数学对象不是现实世界的元素，而是观念世界的元素”。笔者不同意elim 的这个观点，事实上，他说的“序结构, 代数结构和拓扑结构”中的数与点都需要说明其实践意义，他说的“集合结构”涉及无穷集合，对无穷集合，王宪钧著《数理逻辑引论》中讲到“实无穷论者认为：无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的；潜无穷论者否定实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的[1]”。这说明，集合论理论中存在着相互矛盾“实无穷与潜无穷”两种观点。[美]M.克莱因《数学：确定性的丧失》中也介绍了许多无法解决的矛盾与不确定性；这些问题都需要使用恩格斯的“只能从现实中来说明”的理论联系事实的方法解决。

elim

jzkyllcjl 发表于 2023-2-17 01:30
elim说：柯朗的书对普通人还是有帮助的。从柯朗的书不难看出，数学对象不是现实世界的元素，而是观念世界的 ...

数学研究，数学分支的创建本身都是(观念世界中的)实践。定义就是被定义概念对象在这个实践意义上的说明。

现实世界实践意义是工程学对具体问题建立数学模型的时候赋予数学结构的。举例来说，黎曼几何的建立早于人们找到它的实际应用。
一般说来，人们学习或研究数学，了解其实际应用是自然而然的事情，只有愚蠢到像 jzkyllcjl 那样，才必须由他人灌输如何运用数学。

jzkyllcjl 抹杀工程学和自然科学的做法是不值一驳的。jzkyllcjl 的数学观不符合纯数学的发展史实。

jzkyllcjl

刘薰宇著 《原来数学可以这样学》（团结出版社）的第一节“数学是什么”中，介绍了许多不同的不完善的定义之后，第9页讲到：“真的，你只见到符号和关系，那些符号、那些关系要你个明白，就是马马虎虎地说，你也无从下手。到这一步，好了罗素便说：‘数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干些什么’”。这一节说明：形式主义者无法说明数学是什么的问题。该书第10页的第二节（数学所给与人们的）”中说道，“只要人的生活不是全然在懵懂混沌中，就没有一个时候——无论多么短——能脱离数学的关系。张三比李四高一点儿；同样的树，远处的看上去低，进出低看上去高；……”。这一节虽然说明：数学的应用具有广泛性，必要性，但也说明数学的真实意义在于它能解决实践中需要解决的现实数量问题，解决人的身高时，使用米尺量出身高的准确到毫米的近似表达数字就可以了，不需要研究它是不是无理数的问题。因此需要提出：数学理论的本质是：研究现实数量大小及其关系表示方法的科学；虽然形式逻辑研究中需要无理数，但无理数可以用近似方法，表示为十进小数；数学理论的阐述，不能限制在形式逻辑之下，还可以使用唯物辩证逻辑方法。这说明：“数学是什么问题”的难解性，在于他们不了解数学的这个本质，不了解“数学理论需要以实践为基础，并可以在继续实践中改革、提高”的唯物辩证的这个解决方法（当然，唯物辩证法的应用需要有对现实的很多深入的反复研究才行）。

elim

金瑞生 发表于 2023-2-16 00:28
尊敬的elim先生：您好！
     定义和公理是数学的基础，这与其它学科不一样：只要 定义和公理定了，经 ...

先生过奖，我们在探索数学真理上是完全平等的。
以下是我过去的一个帖子【数学哲学基本问题】的主贴内容：
(1) 什么是数学？
(2) 什么是数学真理？ 有没有数学真理？
(3) 数学与现实世界的关系是什么？

首先需要面对的是数学究竟是什么的问题。而这个问题就像“存在是什么”的问题一样，是普遍认为‘自明’，却最难找到公认的终极答案的问题。

人类自然语言一般地总是将一种活动和相应的学问用同一个名词来指称。于是数学的应用，问题和猜想，数学的研究发现，争论与数学理论等等常常都被泛称为数学。这使得哲学地界定何谓数学变得十分必要但又极具争议性。

就哲学本身来说，事实上所有的研究，分歧都可以归咎为哲学范畴的定义问题，这就是为什么现代哲学基本上就是语言哲学。人类从来没有在任何范畴上达成过一致。如果说人类的认识永远不会停留在一个水平上，那么哲学就永远搞不定任何基本定义。基于这种认识，哲学应该追求并满足于相对合宜的，即反映当下认知，尽可能具有前瞻性的定义。

现代数学理论的基本框架是探究数学的真理性的结果。人们发现，数学的真理性只能表现为相容性, 可证性，可构造性及可计算性，所以只对形式系统才有意义。所以能够谈论真理性的数学只能是形式系统。这导致哲学语境下的数学只能是某些形式系统。

如何论证一个数学命题? 显然这个命题必须被无异义地被表达出来．

这就要求命题所提及的所有概念都有明确的定义．然而定义不过是将被定义的概念用更一般的，更基本的概念，加上适当的限制来界定的一个陈述．具有一般形式【A是具有性质X的B】．所以概念A的定义要求X, B 有明确的定义．不难理解，这种“寻根行为”不能无止境地进行下去，必须停止在某个水平．于是就有一些基本概念及基本性质(关系)是不被定义的．不被定义的这些概念，关系叫作元词，元谊．这些东西的数学意义虽然没有用定义给出，却被一些基本命题(公理)所揭示，所限定．

元词元谊公设(公理)加上数理逻辑，就构成一个形式系统．

例如欧氏几何中的点，线，面等就是元词(不加定义的几何对象)，“在...上 ”就是一个元谊(不加定义的关系)．“有且仅有一直线过给定的不同两点”就是一条公理．

由上可见，形式化是数学基础研究明晰性要求的必然结果．否定形式方法的唯一用处就是混淆是非．数学的形式化并不添加悖论，不相容性，不可解问题．除非这些问题在非形式化的数学里已经存在．

几何学的形式化努力的第一个里程碑是欧几里德的【几何原本】，第二个里程碑是希尔伯特的【几何基础】．从算术到代数的过程就是形式化过程．数学的拓展是引入更多的形式，数学的深入是发现更抽象的形式....
可以这么说，就算没有希尔伯特形式化纲领，数学的发展也一样会日益走向形式化．希尔伯特纲领不过使人们更自觉地贯彻这点而已．

形式化/精确化是数学演算推理论证得以进行的必要条件，但这也是数学元素与现实世界对象之间逐渐失去直观,直接对应的直正原因．

没有形式化抽象化精确化就没有数学推演，数学就沦为测量，于是数学与现实的“脱节”势在必行，然而这种“脱节”实际上对数学的发展和数学应用都更有利!  前者不必再说了，至于后者，由于与具体应用，解读的脱钩，尼罗河流域的土地丈量和时装设计，航母的设制可以使用同一种几何；大气，高架车流可以用同样的微分方程等等，事情明摆着，再多说就是啰嗦了．

虽然人们也许沒有充分意识到，现代数学理论已经完全建立在集合论之上. 深入的分折发现，这决不是出于数学家的偏好，而是一种必然。因为集合恰是概念外延的形式! 这使得集合及其关系可以构建全部数学对象，而且由此得到的形式系统都是数学系统。

现在知道，从数学基础或者数学哲学的观点看，数学系统就是以某些集合为基本论域的形式系统.

例如概率论的对象是概率空间，而概率空间由称作随机事件的一些集合构成.

古典数论的对象是整数环，整数由自然数对的某种等价类构成，自然数由空集和peano公理，无穷公理确立。


所以从哲学的高度看，数学是架构在集合论基础上的形式系统. 这就是数学的定义. 数学的较严谨的定义在历史上并没有太多的变动：比如关于数和形的科学这个定义在很长时间都很够用，一直到新的数学分支, 其论域不能归为数和形的的时候，数学与其它学科在方法论和对象世界(现实世界与观念世界)，真理标准的分别越愈明显的时候，定义就需要改变了。我给出的定义未必会广泛流行，但本质上与任何新定义是逻辑等价的。

具体到数学分支，情况就不太相同。首先，新的分支会创建出来，需要新的定义，其次，从符号学的角度，语言在进化(优选，运筹学，法博弈论)，再次，有些概念，如极限，原来非常模糊，又没有实数理论基础，等数理逻辑l成熟后，相应的定义才真正确定明晰。数学中很多模糊的概念都出现于第二第三次数学危机之前，数学基础(元数学)出现之后，这些模糊概念渐趋尘埃落定，相应的定义的'进化'就趋于停滞.

最后说说"多重集". 集合论中的集合是不加定义的基本对象(元词)，'属于' \(\in \) 是基本谓词，一个元素\(x\)与一个集合\(S\)的唯一关系是\(x\)属于不属于\(S\). 所以集合不携带其元素的'重数'性质。\(\{a,a,b,c,c,c\},\{a,b,c\}\) 是同一个集合。如果必须对\(\{a,a,b,c,c,c\}\) 作出不同的解读和称谓，那么多重集本质上不是某类特殊的集合，而是叫作多重集的其它数据结构。这样多重集论不继承集合大部分建构，运算性质。因此这么做徒增混肴而没有任何益处。多重集这种东西可以被推广的集合特征函数取代
\(\chi_{f^{-1}(0)}(a):=\begin{cases}k, & f(a)=0< k=\frac{\partial^kf}{\partial x^k}\big|_{x=a}; \\ 0, & f(a)\ne 0.\end{cases}\)