求 │x/(x^2+1)│的最大值

xfhaoym

中学生问题：│x/(x^2+1)│≤?

天山草

最大值是 1/2

天山草

当 x=0 时原式等于 0。
当 x>0 时  \(原式=\frac{x}{x^2+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}\)，其分母大于等于 2，所以当 x 大于零时原式最大值是 1/2。
又因为原式是偶函数，所以原式最大值仍是 1/2。

luyuanhong

题 求 │x／(x^2+1)│ 的最大值。

解  因为 │x／(x^2+1)│ 是偶函数，下面只要考虑 x＞0 的情形就可以了。

    当 x＞0 时，由算术-几何平均不等式可知有 x+1/x ≥ 2√(x·1/x) = 2 。

   所以 │x／(x^2+1)│ = x／(x^2+1) = 1／(x+1/x) ≤ 1/2  。

   而当 x=1 时，恰好有 │x／(x^2+1)│ = │1／(1^2+1)│ = 1/2 。

   由此可见，│x／(x^2+1)│ 的最大值就是 1/2 。

波斯猫猫

求：│x/(x^2+1)│≤?

思路：1，令y=x/(x^2+1)，则yx^2-x+y=0。故，Δ≥0，即1-4y^2≥0，或︱y︱≤1/2，也即

│x/(x^2+1)│≤1/2。

思路：2，令x=tanθ，则│x/(x^2+1)│=│tanθ/[(tanθ)^2+1]│=︱sin2θ︱/2≤1/2。

xfhaoym

谢谢大家各显神通！