求满足方程 (17-x)^(1/3)+ √(x-9)=2 的所有实数 x 的总和

wintex

求满足方程 (17-x)^(1/3)+ √(x-9)=2 的所有实数 x 的总和

xfhaoym

好象只有9+18+25=52

kezhulu

暫時想到換元法

luyuanhong

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chenjiahao

3楼用到了换元法
以下是我的另外一种思路：

由原方程知：\(x-9\ge0\)
令\(t=\sqrt{x-9}\),则原方程化简为
\(\sqrt[3]{8-t^2}=2-t\)
两边同时立方得
\(8-t^2=\left( 2-t\right)^3\)
整理得
\(8-t^2=8-12t+6t^2-t^3\)
即 \(t^3-7t^2+12t=0\ \Rightarrow\ t\left( t-3\right)\left( t-4\right)=0\)
解得
\[t_1=0{,}t_2=3{,}t_3=4\ 满足\ t\ge0\]
令\(\sqrt{x-9}=0{,}\ 得\ x_1=9\)
令\(\sqrt{x-9}=3{,}\ 得\ x_2=18\)
令\(\sqrt{x-9}=4{,}\ 得\ x_3=25\)
\(\therefore\)满足方程的所有实数x之和为：\(9+18+25=52\)

luyuanhong

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Treenewbee

\[x=17-t^3,\sqrt{8-t^3}=2-t,t<=2\]
\[8-t^3=(2-t)^2\]
\[(2-t)(1+t)(2+t)=0\]
\[t={2,-1,-2}->x={9,18,25}\]
满足方程的所有实数x之和为52

波斯猫猫

题：求满足方程 (17-x)^(1/3)+ √(x-9)=2 的所有实数 x 的总和。

硬算：显然x-9≥0，由条件有(17-x)^(1/3)=2- √(x-9)，17-x=8-12 √(x-9)+6(x-9)-(x-9)√(x-9)，

7(x-9)=(x+3)√(x-9)，(x-9)[49(x-9)-(x+3)^2]=0，(x-9)(x-18)(x-25)=0，即所求实数的总和为52。

岑一峰

你们想太多