\(\large\color{red}{\star}\textbf{说说集合的基数序数, 及门外汉等'问题专家'}\)

elim

希尔伯特为了解释无穷与有穷的不同，使用了无穷旅馆的比喻：
假定一旅馆有可数多个客房，每个客房都住有一房客。现在来了一个新客人要入住怎么办？老板让原第\(n\)号房间的房客搬到第\(n+1\)房间\((n=1,2,3,\ldots)\)，腾出了一号房间让新客人入住。这样就解决了住满客人的无穷旅馆容纳新客人的问题。

不难看出要是再来一万新人，老板叫\(n\)号房间的客人搬到\(n+10000\)号房间\((n=1,2,3\ldots)\)即可腾出一万个房间容纳新客人。

如果新客人有可数无穷多，那么只要做\(n\)号房间客人搬到\(2n\)号房间的全体腾房，就可将奇数号房间全部腾出，容纳可数无穷多新客人入住.

人们把上述比喻叫作希尔伯特旅馆。它说明对无穷集合而言，元素个数(某自然数)的概念必须扩充。我们把反映集合\(S\)元素多少的量叫作基数\(|S|\). 规定有限集的基数就是其元素个数. 这样自然就会有如下的基数比较准则：
\(|A|\le |B|\iff \exists 单射 f: A\to B\) 即\(A\)的基数不大于\(B\)的基数的充要条件是存在\(A\)到\(B\)的单射(不同的萝卜对应不同的坑).

聪明的朋友一定会问, 是否有这种情况：不存在A到B的单射，也不存在B到A的单射，这样上述比较准则不就破产了吗？

这个问题通过良序原则可以轻易解决，而良序原则等价于选择公理，所以在 ZFC 中如下命题成立：
任给二集合 A,B，如果不存在A到B的单射，则必存在B到A的单射。具体的证明，请读集合论教科书.
如果 \(|A|\le |B| \wedge |B| \not\le |A|\), 则称 \(|A|<|B|\).  若存在\(A, B\) 之间的1-1对应(双射：既单又满的映射)，则称\(|A|=|B|\).
Cantor-Bernstein-Schroder 定理指出 \((|A|\le |B|)\wedge(|B|\le|A|)\implies (|A|=|B|)\)
至此我们知道，基数大小是集合之间的全序关系，满足三分率. 注意我们讨论得到的所有结果都建立在 ZFC 的公理之上。

(用这种观点回看希尔伯特旅馆，知道希尔伯特无非是说，所有可数无穷集合的基数都相等, 可数无穷多人与可数无穷多间房之间总可以建立一一对应), 无穷集必与其某些真子集基数相等。

现在来看看形形色色的反对者的观点。
jzkyllcjl 说，不存在无穷集，只存在有限集合的递增序列。而整体大于部分是天经地义等等。他的不存在无穷集的说法是建立在任何数学元素最起码要写出来才算存在，但有限的时间写不完无限个对象，所以无穷集永远完不成。他这么认为并不触犯中华人民共和国法律，但也没有推翻基数理论。不承认选择公理，无穷公理是推翻不了ZFC的，只有指出ZFC不自洽才行。另外，为什么写了才算存在？方程的解的存在性可以通过介值定理等等证明，不论这个解的十进小数值只有有限位，能写到底与否不是吗？整体大于部分的'大于'二字是指什么？把整体叫作1(整块)， 部分(碎片)有多少算(块)多少，整体还大于部分吗？你可以说整体大于部分指体积，或重量, 在这种意义上整体大于部分，没人反对这点，但在基数而言，整体不小于部分，但未必不可以等于某些部分。有什么问题？jzkyllcjl 提出过无穷集合的个数比计算方案，但这只可用于集合及其子集的比较，而且不是一一对应下的不变量，没有自洽性。另外，根据并公理，有限集的任意并是集合，jzkyllcjl 不是推翻ZFC而是在兜售他的不能自圆其说的另类集论。他还不知道集合论到底有啥用，更找不见他的集论有啥用。

门外汉差不多是搞定向爆破的。他试图揭示，尽管客房集和客人集的基数相同，但若对应的方式有一些追加的限制，两者之间的对应就建立不了. 他想让旅馆坍塌的想法可以理解，但他忘记了，希尔伯特没有承诺他总能找到满足任意追加规则的一一对应, 旅馆老板也没有。不过值得一提的是，他的爆破方案引进了一个重要的集合论概念：序数。我们不可能展开这个话题，稍微提一下基本概念：
考考虑整数序列 \(\ldots,-n,-(n-1),\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots,n,\ldots\) 及自然数序列 \(0,1,2,\ldots\). 不难看出前者没有最小元，后者有，两者都没有最大元等等。一般地，我们说若存在全序集 A,B 之间的一一对应 \(f:A\to B\) 使得 \(f(a) < f(b)\iff a < b\), 则称 \(f\) 是\(A,B\)间的保序同构, 称\(A,B\) 有相同的序型。门外汉对希尔伯特的挑战是：让希老师在不同的序型的集合间建立保序同构. 他的自相矛盾的要求被数学家看作是正当责难还是无理取闹或者离题万里，不重要。啰哩啰索告诉数学家他们早已知道的事情(不同序型的序集间不存在保序同构),想炸坏希尔伯特旅馆还是太天真烂漫．

门外汉与jzkyllcjl 还有一个共同点，他们常常对数学引进物理时间，如一分钟之内，永远，等等，但数学里没有时间只有顺序。我的一个极限 jzkyllcjl 7年没算出来，时间不是序列的属性，一个收敛序列被提出，极限作为它的属性已经存在了，跟谁算得出来与否，算对算错没有关系。

APB先生会说，以上多次谈及，可数无穷，但是这世上根本就没有不可数无穷！不过他的可数概念是另类的，因为他的自然数概念与人类数学就不同。他引进的无穷大整数和无穷小分数等等都不满足阿基米德公理，也没有起码的算术自洽性。我们只能说，他是经商之人固然会推销其主张．但愿数学不是他的滑铁卢。

关于hxl268, 由于他语无伦次, 不知所云，想想都没趣，多次求助门外汉，jzkyllcjl, 也没见他们看好这5000年一出的耗子，就此打住。

hxl268

错误的应试教育使中国有不少滥竽充数的伪专家祸国殃民。

elim

hxl268 不谈具体数学时，说话还是能听懂的。意思就是别看他考试不行，也可以祸国殃民。

金瑞生

        elim先生不愧为学者，数学叙事说理都极为严谨，请门外汉们仔细阅读。如果你们的那些错误的观点，仅仅是因为当年没能好好理解，那么elim先生精心准备的这份资料对你们每个人都极为珍贵，好好理解消化吧。
      elim先生说： 门外汉差不多是搞定向爆破的。他试图揭示，尽管客房集和客人集的基数相同，但若对应的方式有一些追加的限制，两者之间的对应就建立不了. 他想让旅馆坍塌的想法可以理解，但他忘记了，希尔伯特没有承诺他总能找到满足任意追加规则的一一对应, 旅馆老板也没有。
      elim先生的话，使我了解到了门外汉的真实想法，但我并不认同。只要客房集和客人集的基数相同，那就说明两者元素之间已经建立起过一一对应关系。“但若对应的方式有一些追加的限制，两者之间的对应就建立不了”这句话有啥意义吗？对应方式追加了限制只是搞晕了人的头脑，无法回忆起原有的一一对应关系，这有啥影响？一一对应关系只要建立过，就说明客房集和客人集的基数相同。这是不以人的意志为转移的。难道门外汉先生因为头晕找不到原有的对应关系，就要否定客房集和客人集的基数相同吗？
       要证明客房集和客人集的基数相同，只要在两者元素之间建立过一种一一对应关系即可，难道要至少几种？
       在此，我也对门外汉先生表示抱歉，但你那样的题目具有欺骗性、误导性，只适合娱乐，但要否定Cantor集合论采用这种方式，我极不喜欢。如果你要在客房集和客人集的元素之间再次建立一一对应关系可以明说，用数学方式叙事。“住满与住不满”，“住下与住不下”这种表述对无穷集合的讨论只会误导，没有任何积极意义。

mathmatical

金瑞生 发表于 2023-3-7 14:12
elim先生不愧为学者，数学叙事说理都极为严谨，请门外汉们仔细阅读。如果你们的那些错误的观点，仅仅是因为 ...

拍马屁，会
被学者瞧不起的。

elim

mathematical 同不同意主贴？欢迎谈谈看法．

elim

主贴没有才提到主楞(任在深)和谢邪(邪)，是因为这二人在否定对方方面都很有说服力，我就不添乱了．呵呵

elim

有教学资格的人教出了需要补习的人，家长再出十万给子女补习．引出问题：什么样的人有资格教补习班，对不想学，学不好的子女补习有沒有用？补习为什么不能自学等等．
jzkyllcjl, 门外汉需要的是补习还是学习？

Ysu2008

这些人只愿意相信直觉，不愿服从逻辑。他们就是粪坑里的石头，又臭又硬，哈哈哈~~

elim

Ysu2008 发表于 2023-3-12 06:35
这些人只愿意相信直觉，不愿服从逻辑。他们就是粪坑里的石头，又臭又硬，哈哈哈~~

jzkyllcjl, 门外汉等，听见了没有？ 相信您们的出发点是好的，想救救孩子而拒绝学医，哪门子道理？