x^3+Y^3=Z^5有解吗？

lusishun

程先生，你可研究过

时空伴随者

2023-03-10 17:26:05
equation: \(x^{3}+y^{3}=z^{5}\)
\((u(u^{3}+v^{3})^{3}k^{5})^{3}+(v(u^{3}+v^{3})^{3}k^{5})^{3}=((u^{3}+v^{3})^{2}k^{3})^{5}\)
\(u,v,k∈Z^+\)
用时 0.00000 秒

费尔马1

鲁老师问：x^3+Y^3=Z^5有解吗？
学生我回答：x^（2n+1）+Y^（2n+1）=Z^（2n+3）有函数解。
其中一个答案是：
x=a*m^[(2n+3)k+n+2]
y=b*m^[(2n+3)k+n+2]
z=m^[(2n+1)k+n+1]
其中，m=a^（2n+1）+b^（2n+1）
a、b、n为正整数，k为0或正整数。
注：这是采用整体换元法解的。

费尔马1

x^（2n+1）+Y^（2n+1）=Z^（2n+3）有函数解。
其中一个答案是：
x=a*m^[(2n+3)k+n+2]*w^(2n+3)
y=b*m^[(2n+3)k+n+2]*w^(2n+3)
z=m^[(2n+1)k+n+1]*w^(2n+1)
其中，m=a^（2n+1）+b^（2n+1）
a、b、n、w为正整数，k为0或正整数。

lusishun

求出X^3+Y^3=Z^20的一组正整数解

lusishun

更有甚者：X^3+Y^3=Z^35的一组正整数解

Treenewbee

lusishun 发表于 2023-3-10 21:02
求出X^3+Y^3=Z^20的一组正整数解

\[729^3+1458^3=3^{20}\]

\[8192^3+8192^3=4^{20}\]

\[1528823808^3+764411904^3=24^{20}\]

\[ 8589934592,^3+8589934592^3=32^{20}\]

时空伴随者

equation: \(x^{2n+1}+y^{2n+1}=z^{2n+3}\)
\((u(u^{2n+1}+v^{2n+1})^{n+2}k^{2n+3})^{2n+1}+(v(u^{2n+1}+v^{2n+1})^{n+2}k^{2n+3})^{2n+1}\\=((u^{2n+1}+v^{2n+1})^{n+1}k^{2n+1})^{2n+3}\)
\(u,v,k∈Z^+\)

Treenewbee

lusishun 发表于 2023-3-10 21:05
更有甚者：X^3+Y^3=Z^35的一组正整数解

\[354294^3+177147^3= 3^{35}\]

\[8388608^3+ 8388608^3=4^{35}\]

lusishun

证明：
X^3+Y^3=Z^（3k+2）
与
X^3+Y^3=Z^（3k+1）
都有解.（给出公式）