圆内两相似的等腰三角形

ccmmjj

上网看到这个题目：

构思精巧，想到了容易做出来，是一个特殊角72度。
我依据这道题，做了一个思考，是否存在如下图的两个相似的等腰三角形（OC=CB，AC=AD），它的对应角O是多少度呢？

我通过几何画板模拟，得到这样的图形是唯一存在的，角O大概略大于48.5度，只是没有数学方法来说明它，特在此请教网友。

shuxuestar

答案有无数个........

ccmmjj

shuxuestar 发表于 2023-3-13 19:07
答案有无数个........

满足楼上网友的等腰三角形不相似，但它们的一半直角三角形相似的图形似乎也只有一个解

shuxuestar

ccmmjj 发表于 2023-3-14 12:57
满足楼上网友的等腰三角形不相似，但它们的一半直角三角形相似的图形似乎也只有一个解

看错题目了，不好意思

天山草

此题有解，并且解是唯一的：

这个角度等于 48.519968978053164944230633478342326484415639764988…… 度。

角度的理论值是：



计算程序如下：

shuxuestar

解答如下（几何计算）：

shuxuestar

这个方程谁有兴趣的话可以动手算算.......... 四倍角， 四次八次方程

8*cosa - 4/cos(pi/4 + a/4) + 1/cos(pi/4 + a/4)^2 - 4 = 0

令：pi/4 + a/4=x，

-8*cos(4*x) - 4/cos(x) + 1/cos(x)^2 - 4 = 0 ，带入倍角公式得：

-8*(8*cos(x)^4 - 8*cos(x)^2 + 1)*cos(x)^2 - 4*cos(x)^2 - 4*cos(x) + 1 = 0

化简得：

1 - 64*cos(x)^6 + 64*cos(x)^4 - 12*cos(x)^2 - 4*cos(x) = 0

因式分解为：

(8*cos(x)^3-6*cos(x)+1)*(8*cos(x)^3-2*cos(x)-1)=0

(8*cos(x)^3-6*cos(x)+1)=0
cos（pi/4 + a/4）=cos(2pi/9)
cos（pi/4 + a/4）=cos(8pi/9)
cos（pi/4 + a/4）=cos(14pi/9)

(8*cos(x)^3-2*cos(x)-1)=0
cos（pi/4 + a/4）=cbrt(sqrt(69)/144+1/16)+cbrt(-sqrt(69)/144+1/16)

cosx算出来总共四个实数解...........

shuxuestar

天山草 发表于 2023-3-14 15:33
此题有解，并且解是唯一的：

这个角度等于 48.519968978053164944230633478342326484415639764988……  ...

     你从头到尾编程序让计算机干活呢，在数学来说属于作弊，不算数...........

ccmmjj

天山草 发表于 2023-3-14 07:33
此题有解，并且解是唯一的：

这个角度等于 48.519968978053164944230633478342326484415639764988……  ...

我仔细看了你的计算机做法，像是在做无限逼近呢！计算机真好用，居然能得到理论值。

时空伴随者