勾股数组研究

朱明君

\(朱火华勾股数组通解公式\)
\(设\left( \frac{x}{2}\right)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，且m>n{,}\ mn均为正整数，\)
\(x<\left( m-n\right){,}\ x为勾=a，m-n为股=b{,}\ \ m+n为弦=c{,}\)
\(x>\left( m-n\right){,}\ x为股=b{,}\ \ m-n为勾=a{,}\ \ m+n为弦=c{,}\)
\(则a^2+b^2=c^2\)
\(这个公式是我研究出来的，解决了古今中外数学家勾股不分，a b不分的问题，\)
\(勾股定理的定义是短边为勾，长边为股，斜边为弦。\)


\(设(x/2)^2=mn，其中x为大于等于4的偶数，且m﹥n，mn均为正整数，\)
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2\)

\(设x=mn，其中x为大于等于3的奇数，且m>n，mn均为正整数，\)
\(则x^2十[(m^2-n^2)/2]^2=[(m^2+n^2)/2]^2\)

\(设x=m+n，其中x为大于等于2的正整数，且mn均为正整数，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2\)

\(设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m>n，mn均为正整数，\)
\(  则[x(m-n)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)      


\(1{,}设(x/2)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，\)
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2\)
\(若m n一奇一偶没有大于1的公倍数\)，
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2为勾股数本原解数组。\)
\(计算n的方法，是由分解(x/2)^2得到，\)
\((x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}\ 其中F为质因数，\)
\(取这些因数重组小于(x/2)的数积为n。(x/2)^2/n=m。\)
\(详解：根据(x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}首先计算出1和全部质因数各自从\)
\(1到n次方的积数，去掉大于等于(x/2)的积数后重组，(同底数的数不能重组)\)
\(再去掉大于等于(x/2)的积数，余下的数为n。\)
\(实例：计算x=60的全部勾股数，\)
\((60/2)^2=900=1\times2^2\times3^2\times5^2{,}\)
\(1^1=1{,}\ \ 2^1=2{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}\)
\(2^2=4{,}\ \ 3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}\)
\(2\times3=6{,}\ 2\times5=10{,}\ \ 3\times4=12{,}\ \ 3\times5=15{,}\ \ 2\times9=18{,}\ \ 4\times5=20{,}\)
\(即n小于30的数有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，25。(13个)\)
\(根据公式(X/2)^2/n=m。\)
\(所以\)
\(n=1,     m=900。   n=2，m=450。   n=3，  m=300。   n=4， m=225。\)
\(n=5，  m=180。   n=6，m=150。   n=9，  m=100。   n=10，m=90。\)
\(n=12，m=75。     n=15, m=60。     n=18，m=50。     n=20，m=45。\)
\(n=25，m=36。\)
\(代入公式得：\)
\(60^2+(900-1)^2=(900+1)^2(本原解）\)
\(60^2+(450-2)^2=(450+2)^2\)
\(60^2+(300-3)^2=(300+3)^2\)
\(60^2+(225-4)^2=(225+4)^2(本原解）\)
\(60^2+(180-5)^2=(180+5)^2\)
\(60^2+(150-6)^2=(150+6)^2\)
\(60^2+(100-9)^2=(100+9)^2(本原解）\)
\(60^2+(90-10)^2=(90+10)^2\)
\(60^2+(75-12)^2=(75+12)^2\)
\(60^2+(60-15)^2=(60+15)^2\)
\(60^2+(50-18)^2=(50+18)^2\)
\(60^2+(45-20)^2=(45+20)^2\)
\(60^2+(36-25)^2=(36+25)^2(本原解）\)
\(实例：\)
\((x/2)^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)\)
\((4/2)^2=4\times1，(3，4，5)(本原解）\)
\((6/2)^2=9\times1，(8，6，10)(本原解）\)
\((8/2)^2=16\times1，(15，8，17)(本原解）\)
\((8/2)^2=8\times2，(6，8，10)\)                  
\((10/2)^2=25\times1，(24，10，26)(本原解）\)   
\((12/2)^2=36\times1，(35，12，37)(本原解）\)
\((12/2)^2=18\times2，(16，12，20)\)
\((12/2)^2=12\times3，(9，12，15)\)
\((12/2)^2=9\times4，(5，12，13)(本原解）\)
\((14/2)^2=49\times1，(48，14，50)\)
\(\cdots\cdots。\)

\(2{,}设x^2=mn，(其中X为\ge3的奇数){,}且m>n{,}\ m{,}n均为正整数，\)
\(则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2。\)
\(若mn没有大于1的公约数，\)
\(则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2为勾股数本愿解数组。\)
\(计算n的方法，是由分解X^2得到，\)
\(X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中F为质因数)\)
\(取这些因数重组小于X的数积为n{,}(X^2)/n=m。\)
\(详解：根据X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}，首先计算出1和全部质因数各自从1到n次方的积数，\)
\(去掉大于等于X的积数后重组，(同底数的数不能重组)再去掉大于等于X的积数，余下的数为n。\)
\(实例：计算X=15时全部勾股数\)
\(X=15{,}\ \ 15^2=1\times3^2\times5^2{,}\)
\(1^1=1{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}\)
\(3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}\)
\(即n小于15的数有1，3，5，9。(4个)\)
\(根据公式X^2/n=m。\)
\(所以n=1{,}\ \ m=225。n=3，m=75。n=5，m=45。n=9，m=25。\)
\(代入公式得：\)
\(15^2+[(225-1)/2]^2=[(225+1)/2]^2(本原解）\)
\(15^2+[(75-3)/2]^2=(75+3)/2]^2\)
\(15^2+[(45-5)/2]^2=[(45+5)/2]^2\)
\(15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2(本原解）\)
\(实例：\)
\(x^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(3^2=9\times1，(3，4，5)(本原解）\)
\(5^2=25\times1，(5，12，13)(本原解）\)
\(7^2=49\times1，(7，24，25)(本原解）\)              
\(9^2=81\times1，(9，40，42)(本原解）\)     
\(9^2=27\times3，\left( 9，12，15\right)\)  
\(11^2=121\times1，(11，60，61)(本原解）\)      
\(13^2=169\times1，(13，84，85)(本原解）\)         
\(15^2=225\times1，(15，112，113)(本原解）\)
\(15^2=75\times3，(15，36，39)\)
\(15^2=45\times5，(15，20，25)\)
\(15^2=25\times9，(15，8，17)(本原解）\)
\(\cdots\cdots。\)

\(3,X为勾全部解的解数公式\)
\(计算全部解的解数方法，是由分解X质因数中的指数得到，与底数无关。\)
\(X=F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中X为\ge3的正整数，F为质因数，n为指数)\)
\(设X为勾全部解的解数为L,指数的对应数为2n+1。\)
\(则X(奇数），L=[(2n_1+1)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2\)
\(则X(偶数），L=[(2n_1+1-2)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2\)
\(实例X=15{,}\ \ 15=3^1\times5^1{,}\)
\(代入公式得[(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=4组。\)
\(实例：X=60{,}\ \ 60=2^2\times3^1\times5^1{,}\)
\(代入公式得  [(2×2+1-2)×(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=13组，\)

\(4，设x=m+n，其中x为\ge2的正整数，且mn均为正整数，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2，\)
\(若(x+n)是奇数，且与m互质，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。\)
\(实例：\)
\(x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(2=1+1，   (3， 4，5)     (本原解）\)
\(3=1+2，   (5，12，13)    (本原解）\)
\(3=2+1，   (8，6，10)    \)
\(4=1+3，   (7，24，25)    (本原解）\)
\(4=2+2，   (12，16，20)\)
\(4=3+1，   (15，8，17)     (本原解）\)
\(5=1+4，   (9，40，41)    (本原解）\)
\(5=2+3，   (16，30，34)\)
\(5=3+2，   (21，20，29)    (本原解）\)
\(5=4+1，   (24，10，26)\)
\(6=1+5，   (11，60，61)    (本原解）\)
\(6=2+4，   (20，48，52)  \)
\(6=3+3，   (27，36，45)   \)
\(6=4+2，   (32，24，40)\)
\(6=5+1，   (35，12，37)    (本原解）\)  
\(\cdots\cdots。\)

\(5，设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m<n<x, x m n均为正整数，\)
\(则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)
\(若x是奇数，且m与n互质,\)
\(则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。\)
\(实例：\)
\( x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(3=1+2，   (3， 4，  5)    (本原解） \)
\(4=1+3，   (8，6，10)\)
\(5=1+4，   (15，8，17)    (本原解）\)
\(5=2+3，   (5，12，13)    (本原解）\)
\(6=1+5，   (24，10，26)\)
\(6=2+4，   (12，16，20)\)
\(7=1+6，   (35，12，37)   (本原解）\)
\(7=2+5，   (21，20，29)    (本原解）\)
\(7=3+4，   (7，24，25)     (本原解）\)
\(8=1+7，   (48，14，50)     \)
\(8=2+6，   (32，24，40)\)
\(8=3+5，   (16，30，34)\)
\(\cdots\cdots。\)

\(6，连续平方和趣题：\)
\(求出n+1个连续平方数之和等于n个连续平方数之和的通解公式。\)
\(3^2+4^2=5^2\)
\(10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\)
\(21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\)
\(36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\)
\(\cdots\cdots。\)
\(左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和，其通解公式如下：\)
\(左右共有2n+1个连续正整数，第1个正整数是n(2n+1), \)
\(最后1个正整数是n(2n+3),中间数是n(2n+1)+n。\)

\(设n为大于等于1的正整数，x为连续正整数中的第n个正整数，且x小于等于(2n+1)，\)
\(则a(x)=n(2n+1)+(x-1)\)


\(7，设x=(a+b+…+n)为大于等于3的奇数，\)
\((a^2+b^2+\cdots+n^2)为y，其中abn均为正整数，\)
\(则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x^2-1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x^2+1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2\)
\(实例：x=5{,}\ \ \ \ \ 5^2+12^2=13^2{,}\)
\(5=1+1+1+1+1{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+2^2=3^2，\)
\(5=1+1+1+2{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+2^2+3^2=4^2，\)
\(5=1+1+3{,}代入公式得1^2+1^2+3^2+5^2=6^2，\)
\(5=1+2+2{,}代入公式得1^2+2^2+2^2+4^2=5^2，\)
\(5=1+4{,}代入公式得1^2+4^2+8^2=9^2，\)
\(5=2+3{,}代入公式得2^2+3^2+6^2=7^2，\)
简化公式：
\(设(a^2+b^2+\cdots+n^2)=x{,}其中(a+b+\cdots+n)为大于等于3的奇数，且abnx均为正整数，\)
\(则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x-1)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x+1)}{2}\right\}^2\)      

\(8，设x为任意正整数，\)
\(则x^2+(x+1)^2+[x(x+1)]^2=[x(x+1)+1]^2。\)
\(x=1{,}代入公式得，1^2+2^2+2^2=3^2，\)
\(x=2{,}代入公式得，2^2+3^2+6^2=7^2，\)
\(x=3{,}代入公式得，3^2+4^2+12^2=13^2，\)
\(x=4{,}代入公式得，4^2+5^2+20^2=21^2\)
\(\cdots\cdots。\)

\(9，设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，\)
\(则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}){,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}\)
\(x=2{,}代入公式得，2^n+2^n=2^{(n+1)，}，\)
\(x=3{,}代入公式得，3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，\)
\(x=4{,}代入公式得，4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，\)
\(\cdots\cdots。\)

\(10,巳知2的n次方的n为大于等于1的正整数，\)
\(求满足方程(3x+1)/2^n=Z的所有x和Z的奇数解。\)
\(①，当n是奇数时，\)
\(x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}×N+2^n+\left\{ [2^{\left( n+1\right)}-1]/3\right\}\)
\(z(奇数)=6N+5，\)
\(其中N为≥0的整数。\)
\(②，当n是偶数时，\)
\(x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}\times N+[(2^n-1)/3]，\)
\(z(奇数)=6N+1，\)
\(其中n为正整数，N为≥0的整数。\)


\(11,求不定方程x^2+y^n=z^2的正整数解\)
\(设[y^{\left( n-1\right)}-y]/2=x，[y^{\left( n-1\right)}+y]/2=z，\)
\(   其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，\)
\(则x^2+y^n=z^2，\)


\(12,兔子数列中的勾股数\)
\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,\)\(\cdots\cdots。\)
\(①，设兔子数列中的任意四个连续的兔子数:\)
\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d,  \)
\(则(ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)
\(②，设兔子数列中的任意3个连续的兔子数，\)
\(第1个为a，笫2个为b，第3个为c，\)
\(则[a(b+c)]^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2，\)


\(13,设x=ab，y=ac，z=bc，(其中a为勾，b为股，c为弦)\)
\(则(xy)^2十(xz)^2=(yz)^2,\)


\(14,设x=b+2(a+c)，y=a+2(b+c)，z=c+2(a+b+c)，其中a为勾，b为股，c为弦，\)
\(则x^2+y^2=z^2,
\)


\(15,设x为任意正整数，则x^2+(2x)^2+( 2x)^2=(x+2x)^2，\)


\(16, 设n为大于等于2的正整数\)
则\(\left[ \left( 2^n-1\right)^n\right]^{n-2}+\left[ \left( 2^n-1\right)^{n-1}\right]^{n-1}=\left[ 2\times\left( 2^n-1\right)^{n-2}\right]^n\)
实例：



\(设x，n为任意正整数，\)
\(则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^n\right)^x=2^{\left( nx十1\right)}\)
\(则\left( 2^x\right)^n十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}\)
\(则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}\)



\(18，设a^n+b^n=z{,}\ \ az=x{,}\ \ bz=y{,}\)
\(其中abn均为任意正整数，\)
\(则x^n+y^n=z^{n+1}，\)


\(19{,}设a=b=2{,}\ \ \ c=2^{\left( n+1\right)\div2}{,}\ \ 其中n为任意奇数，则a^n+b^n=c^2,\)
实例：
\(2^1十2^1=2^2，\)
\(2^3十2^3=4^2，\)
\(2^5十2^5=8^2，\)
\(2^7十2^7=16^2，\)
\(......。\)


\(20,设m(m+1)=x{,}其中m为任意正整数，则\left( \sqrt{4x+1}\right)^2=[m+(m+1)]^2{,}\)   


\(21,设n为大于等于0的整数，则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times\left( 2^n\right)\right)^{n+1}\)
实例
\(n=0{,}\ \ \ 代入公式得，1^2+1^2=2^1{,}\)
\(n=1{,}\ \ \ 代入公式得，2^3+2^3=4^2{,}\)
\(n=2{,}\ \ \ 代入公式得，4^4+4^4=8^3{,}\)
\(n=3{,}\ \ \ 代入公式得，8^5+8^5=16^4{,}\)
\(n=4{,}\ \ \ 代入公式得，16^6+16^6=32^5{,}\)
\(\cdots\cdots\)

\(22，\)
项数，     \( n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,                      8,           9,       10,      11, ... .\)
兔子数，\(F=0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,  21, 34, 35, ... .\)
\(设a为大于等于2的正整数，n为大于等于3的正整数，其中每个n项的数都对应着1个兔子数，\)
\(其中n_1为大于等于3的正整数{,}则偶数项的对应兔子数是该(偶数+1)的对应兔子数，\)
\(其中n_2为大于等于2的正整数{,}则奇数项的对应兔子数是该(奇数+1)的对应兔子数，\)
\(其中n_3为大于等于1的正整数{,}则偶数项的对应兔子数是该(偶数+1)的对应兔子数，\)
\(则\left( \left( a^n-1\right)^{n_1}\right)^{n-2}+\left( \left( a^n-1\right)^{n_2-1}\right)^{n-1}=\left( a\left( a^n-1\right)^{n_3-2}\right)^n\)
注：在实际操作运算中，我们要将公式中的n(项数)换成对应的兔子数。
实例：


\(23设a=b=2^n{,}\ \ c=2(2^n){,}\ bc=N{,}\ 其中n\ge1{,}则abc(a+b+c)=2N^2{,}\)


\(24,设n为大于等于2的正整数，则\left( 2^n\right)^{n一2}十\left( 2^{n一2}\right)^n=\left( 2^{n一1}\right)^{n一1}\)


\(25,数例，1，2，2，3，4，4，5，6，6，7，8，8...。\)
\(设：\frac{n}{3}=x\left( 取整数\right)，其中n为大于等于3的正整数，\)
\(则a\left( n\right)=n-x，\)


\(26,求满足方程 x^3+3xy+n=y^3 的所有整数解\)
\(设y为≥3的正整数,x=y－2,  n=3xy+8,  则x^3+3xy+n=y^3\)


\(27,设\left( m^2+n^2\right)=C，其中m>n，且mnC均为正整数，\)
\(则\left\{ C\left( m^2-n^2\right)\right\}^2+\left( 2mnC\right)^2=C^4，\)

\(28,设a为勾，b为股，C为弦，其中a<b<C，\)
\(则\left( b^2-a^2\right)^2+\left( 2ab\right)^2=C^4，\)
\(则\left( aC\right)^2+\left( bC\right)^2=\left( CC\right)^2=C^4，\)


\(29,设a为大于等于3的正整数，n为大于等于2的正整数，\)则
\(\left( \left( a^n-5\right)^{4n}\right)^{n-1}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n}\right)^{2n-2}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n-1}\right)^{2n-1}+\left( \left( a^n-5\right)^{2n-2}\right)^{2n}+\)
\(\left( \left( a^n-5\right)^n\right)^{4n-4}+\left( \left( a^n-5\right)^{n-1}\right)^{4n}=\left( a\left( a^n-5\right)^{4n-4}\right)^n\)
实例



\(30,设n为大于等于2的正整数，则\)
\(\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times n}\right)^{n-1}+\left( 4^{\left( n+1\right)\times\left( n+2\right)\times\left( n-1\right)}\right)^n\)\(+\)
\(\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)+\left( n\times\left( n-1\right)\right)\right)}\right)^{n+1}+\left(
4^{\left( n\times\left( n+1\right)\times\left( n-1\right)\right)}\right)^{n+2}=\left( 4^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}\right)^{\left( n\times\left( n+1\right)-1\right)}\)
实例


\(31{,}设n为\ge1的正整数，则(n+(n+1))^2-\left\{ n(n+1)\times2^2\right\}=1，\)
\(设xdy均为正整数，则x^2-d^2y^2=1，无正整数解\)


\(32,\)




\(33,\)
\(求数例3，7，11，17，23，31，39，49…。正整数解的通项公式\)
设n为大于等于2的正整数，
\(a\left( n\right)=\frac{n\left( n+1\right)+\left( n-x\right)}{2}{,}其中n为偶数，则x为2{,}\ \ \ \ \ n为奇数，则x为1{,}\)
求数例7，13，23，33，47，61，79，97…。正整数解的通项公式
设n为大于等于2的正整数，
\(a(n)=n(n+1)+(n-x), 其中n为偶数，则x为1，其中n为奇数，则x为2，\)





\(设x为任意正整数，\)
\(则x^2+(x+1)^2+[x(x+1)]^2=[x(x+1)+1]^2。\)
  \(x=1，\ \ \ 1^2+2^2+2^2=3^2，\)
  \(x=2，\ \ \ 2^2+3^2+6^2=7^2，\)
  \(x=3，\ \ \ 3^2+4^2+12^2=13^2，\)
  \(x=4，\ \ \ 4^2+5^2+20^2=21^2\)
  \(\cdots\cdots。\)


\(设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，\)
\(则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}){,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}\)
  \(x=2，\ \ \ 2^n+2^n=2^{(n+1)，}，\)
  \(x=3，\ \ \ 3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，\)
  \(x=4，\ \ \ 4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，\)
  \(\cdots\cdots。\)




\(设a^n+b^n=z{,}\ \ az=x{,}\ \ bz=y{,}\)
\(其中abn均为任意正整数，\)
\(则x^n+y^n=z^{n+1}，\)
\(\left\{ a\left( a^n+b^n\right)\right\}^n+\left\{ b\left( a^n+b^n\right)\right\}^n=\left( a^n+b^n\right)^{n+1}\)，
\(其中a，b，n为正整数\)



\(求不定方程x^2+y^n=z^2的正整数解\)
\(设[y^{\left( n-1\right)}-y]/2=x，[y^{\left( n-1\right)}+y]/2=z，\)
\(   其中y为大于等于2的正整数，n为大于等于4的正整数，\)
\(则x^2+y^n=z^2，\)


\(设xn均为任意正整数，\)
\(则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^n\right)^x=2^{\left( nx十1\right)}\)
\(则\left( 2^x\right)^n十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}\)
\(则\left( 2^n\right)^x十\left( 2^x\right)^n=2^{\left( nx十1\right)}\)



\(设n为大于等于2的正整数，\)
\(则\left( 2^n\right)^{n一2}十\left( 2^{n一2}\right)^n=\left( 2^{n一1}\right)^{n一1}\)



\(设n为任意奇数，\)
\(则2^n+2^n=\left\{ 2^{\left( n+1\right)\div2}\right\}^{^2}{,}\)
  \(2^1十2^1=2^2，\)
  \(2^3十2^3=4^2，\)
  \(2^5十2^5=8^2，\)
  \(2^7十2^7=16^2，\)
  \(......。\)


\(设n为大于等于0的整数{,}\)
\(则\left( 2^n\right)^{n+2}+\left( 2^n\right)^{n+2}=\left( 2\times\left( 2^n\right)\right)^{n+1}\)
  \(1^2+1^2=2^1{,}\)
  \(2^3+2^3=4^2{,}\)
  \(4^4+4^4=8^3{,}\)
  \(8^5+8^5=16^4{,}\)
  \(16^6+16^6=32^5{,}\)
  \(\cdots\cdots\)


\(\left( (b^2-a^2\right)^2+\left( 2ab\right)^2=c^4，\)其中\(a\)为勾，\(b\)为股，\(c\)为弦，且\(a\)﹤b﹤\(c\)。



\((ac)^2+\left( bc\right)^2=c^4，其中a为勾，b为股，c为弦。\)




\(设x=b+2(a+c)，y=a+2(b+c)，z=c+2(a+b+c)，其中a为勾，b为股，c为弦，\)
\(则x^2+y^2=z^2,\)


\(设x为任意正整数，则x^2+(2x)^2+( 2x)^2=(x+2x)^2，\)


\(兔子数列中的勾股数\)
\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,\)\(\cdots\cdots。\)
\(①，设兔子数列中的任意四个连续的兔子数:\)
\(第一个为a,第二个为b,第三个为c,第四个为d,  \)
\(则(ad)^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2\)
\(②，设兔子数列中的任意3个连续的兔子数，\)
\(第1个为a，笫2个为b，第3个为c，\)
\(则[a(b+c)]^2+(2bc)^2=(b^2+c^2)^2，\)


\(巳知2的n次方的n为大于等于1的正整数，\)
\(求满足方程(3x+1)/2^n=Z的所有x和Z的奇数解。\)
\(①，当n是奇数时，\)
\(x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}×N+2^n+\left\{ [2^{\left( n+1\right)}-1]/3\right\}\)
\(z(奇数)=6N+5，\)
\(其中N为≥0的整数。\)
\(②，当n是偶数时，\)
\(x(奇数)=2^{\left( n+1\right)}\times N+[(2^n-1)/3]，\)
\(z(奇数)=6N+1，\)
\(其中n为正整数，N为≥0的整数。\)


\(3=\sqrt{1+\left( n_1+1\right)\sqrt{1+\left( n_2+1\right)...\sqrt{1+\left( n_n+1\right)\left( n_n+3\right)}}}\)
\(其中n_1=1，n_2=2，n_3=3，...n_n=n。\)


\(n\left( n+2\right)+1=\left( n+1\right)^2\)，其中n为正整数。


\(x=(2m+1)(2n+1)，其中x为奇合数，m，n为正整数。\)


\(设n为任意正整数，则(n+2)^2-\left\{ \left( n+1\right)\left( \ n+3\right)\right\}=1{,}\)
\(设n为任意正整数，\)\(则\left( n^2+1\right)^2-\ n^2\left( \ n^2+2\right)=1{,}\)

时空伴随者

\(\Large 东施效颦，只点\color{red}{朱唇}不画眉。\)
2023-03-20 10:54:22
\((16^{10})^{1}+(16^{5})^{2}+(16^{10})^{1}+(16^{2})^{5}=(4^{7})^{3}\)
\((16^{45})^{1}+(16^{15})^{3}+(16^{15})^{3}+(16^{9})^{5}=(4^{13})^{7}\)
\((16^{63})^{2}+(16^{42})^{3}+(16^{42})^{3}+(16^{18})^{7}=(4^{23})^{11}\)
\((16^{140})^{2}+(16^{70})^{4}+(16^{56})^{5}+(16^{40})^{7}=(4^{33})^{17}\)
\((16^{180})^{3}+(16^{135})^{4}+(16^{108})^{5}+(16^{60})^{9}=(4^{47})^{23}\)
\((16^{315})^{3}+(16^{189})^{5}+(16^{135})^{7}+(16^{105})^{9}=(4^{61})^{31}\)
\((16^{385})^{4}+(16^{308})^{5}+(16^{220})^{7}+(16^{140})^{11}=(4^{79})^{39}\)
\((16^{594})^{4}+(16^{396})^{6}+(16^{264})^{9}+(16^{216})^{11}=(4^{97})^{49}\)
\((16^{702})^{5}+(16^{585})^{6}+(16^{390})^{9}+(16^{270})^{13}=(4^{119})^{59}\)
\((16^{1001})^{5}+(16^{715})^{7}+(16^{455})^{11}+(16^{385})^{13}=(4^{141})^{71}\)
\((16^{1155})^{6}+(16^{990})^{7}+(16^{630})^{11}+(16^{462})^{15}=(4^{167})^{83}\)
\((16^{1560})^{6}+(16^{1170})^{8}+(16^{720})^{13}+(16^{624})^{15}=(4^{193})^{97}\)
\((16^{1768})^{7}+(16^{1547})^{8}+(16^{952})^{13}+(16^{728})^{17}=(4^{223})^{111}\)
\((16^{2295})^{7}+(16^{1785})^{9}+(16^{1071})^{15}+(16^{945})^{17}=(4^{253})^{127}\)
\((16^{2565})^{8}+(16^{2280})^{9}+(16^{1368})^{15}+(16^{1080})^{19}=(4^{287})^{143}\)
\((16^{3230})^{8}+(16^{2584})^{10}+(16^{1520})^{17}+(16^{1360})^{19}=(4^{321})^{161}\)
\((16^{3570})^{9}+(16^{3213})^{10}+(16^{1890})^{17}+(16^{1530})^{21}=(4^{359})^{179}\)
\((16^{4389})^{9}+(16^{3591})^{11}+(16^{2079})^{19}+(16^{1881})^{21}=(4^{397})^{199}\)
\((16^{4807})^{10}+(16^{4370})^{11}+(16^{2530})^{19}+(16^{2090})^{23}=(4^{439})^{219}\)
\((16^{5796})^{10}+(16^{4830})^{12}+(16^{2760})^{21}+(16^{2520})^{23}=(4^{481})^{241}\)
\((16^{6300})^{11}+(16^{5775})^{12}+(16^{3300})^{21}+(16^{2772})^{25}=(4^{527})^{263}\)
\((16^{7475})^{11}+(16^{6325})^{13}+(16^{3575})^{23}+(16^{3289})^{25}=(4^{573})^{287}\)
\((16^{8073})^{12}+(16^{7452})^{13}+(16^{4212})^{23}+(16^{3588})^{27}=(4^{623})^{311}\)
\((16^{9450})^{12}+(16^{8100})^{14}+(16^{4536})^{25}+(16^{4200})^{27}=(4^{673})^{337}\)
\((16^{10150})^{13}+(16^{9425})^{14}+(16^{5278})^{25}+(16^{4550})^{29}=(4^{727})^{363}\)
\((16^{11745})^{13}+(16^{10179})^{15}+(16^{5655})^{27}+(16^{5265})^{29}=(4^{781})^{391}\)
\((16^{12555})^{14}+(16^{11718})^{15}+(16^{6510})^{27}+(16^{5670})^{31}=(4^{839})^{419}\)
\((16^{14384})^{14}+(16^{12586})^{16}+(16^{6944})^{29}+(16^{6496})^{31}=(4^{897})^{449}\)
\((16^{15312})^{15}+(16^{14355})^{16}+(16^{7920})^{29}+(16^{6960})^{33}=(4^{959})^{479}\)
\((16^{17391})^{15}+(16^{15345})^{17}+(16^{8415})^{31}+(16^{7905})^{33}=(4^{1021})^{511}\)
\((16^{18445})^{16}+(16^{17360})^{17}+(16^{9520})^{31}+(16^{8432})^{35}=(4^{1087})^{543}\)
\((16^{20790})^{16}+(16^{18480})^{18}+(16^{10080})^{33}+(16^{9504})^{35}=(4^{1153})^{577}\)
\((16^{21978})^{17}+(16^{20757})^{18}+(16^{11322})^{33}+(16^{10098})^{37}=(4^{1223})^{611}\)
\((16^{24605})^{17}+(16^{22015})^{19}+(16^{11951})^{35}+(16^{11305})^{37}=(4^{1293})^{647}\)
\((16^{25935})^{18}+(16^{24570})^{19}+(16^{13338})^{35}+(16^{11970})^{39}=(4^{1367})^{683}\)
\((16^{28860})^{18}+(16^{25974})^{20}+(16^{14040})^{37}+(16^{13320})^{39}=(4^{1441})^{721}\)
\((16^{30340})^{19}+(16^{28823})^{20}+(16^{15580})^{37}+(16^{14060})^{41}=(4^{1519})^{759}\)
\((16^{33579})^{19}+(16^{30381})^{21}+(16^{16359})^{39}+(16^{15561})^{41}=(4^{1597})^{799}\)
\((16^{35217})^{20}+(16^{33540})^{21}+(16^{18060})^{39}+(16^{16380})^{43}=(4^{1679})^{839}\)
\((16^{38786})^{20}+(16^{35260})^{22}+(16^{18920})^{41}+(16^{18040})^{43}=(4^{1761})^{881}\)
\((16^{40590})^{21}+(16^{38745})^{22}+(16^{20790})^{41}+(16^{18942})^{45}=(4^{1847})^{923}\)
\((16^{44505})^{21}+(16^{40635})^{23}+(16^{21735})^{43}+(16^{20769})^{45}=(4^{1933})^{967}\)
\((16^{46483})^{22}+(16^{44462})^{23}+(16^{23782})^{43}+(16^{21758})^{47}=(4^{2023})^{1011}\)
\((16^{50760})^{22}+(16^{46530})^{24}+(16^{24816})^{45}+(16^{23760})^{47}=(4^{2113})^{1057}\)
\((16^{52920})^{23}+(16^{50715})^{24}+(16^{27048})^{45}+(16^{24840})^{49}=(4^{2207})^{1103}\)
\((16^{57575})^{23}+(16^{52969})^{25}+(16^{28175})^{47}+(16^{27025})^{49}=(4^{2301})^{1151}\)
\((16^{59925})^{24}+(16^{57528})^{25}+(16^{30600})^{47}+(16^{28200})^{51}=(4^{2399})^{1199}\)
\((16^{64974})^{24}+(16^{59976})^{26}+(16^{31824})^{49}+(16^{30576})^{51}=(4^{2497})^{1249}\)
\((16^{67522})^{25}+(16^{64925})^{26}+(16^{34450})^{49}+(16^{31850})^{53}=(4^{2599})^{1299}\)
\((16^{72981})^{25}+(16^{67575})^{27}+(16^{35775})^{51}+(16^{34425})^{53}=(4^{2701})^{1351}\)
用时 0.01560 秒

朱明君

求数列1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，…。通项公式，
\(设n为大于等于1的正整数，则a(n)=\frac{n+ⅹ}{2}，其中n为奇数，则x为1，n为偶数，则x为0。\)

求数列2，3，3，4，4，5，5，…。通解公式，
\(设n为大于等于1的正整数，则a(n)=\frac{\left( n+2\right)+x}{2}，其中n为奇数，则x为1，n为偶数，则x为2。\)

求数列1，1，3，3，5，5，7，7，…。通解公式，
\(设n为大于等于1的正整数，则a(n)=n-x，n为偶数，则x为1，n为奇数，则x为0。\)

lusishun

求一组特大偶数：满足
（X^109）^2+（Y^107）^2=（Z^101）^2

时空伴随者

lusishun 发表于 2023-3-27 07:57
求一组特大偶数：满足
（X^109）^2+（Y^107）^2=（Z^101）^2

equation: \(X^{218}+Y^{214}=Z^{202}\)
\(3^2+4^2=5^2 两边同乘 3^{734876}4^{198162}5^{1422886}\)
\((3^{3371}4^{909}5^{6527})^{218}+(3^{3434}4^{926}5^{6649})^{214}=(3^{3638}4^{981}5^{7044})^{202}\)

lusishun

时空伴随者 发表于 2023-3-27 06:03
equation: \(X^{218}+Y^{214}=Z^{202}\)
\(3^2+4^2=5^2 两边同乘 3^{734876}4^{198162}5^{1422886}\)
...

您一定是找到了捷径，手到擒来。
过几天，咱们再创造新的纪录。

lusishun

韩信点兵的练习题，在您的心中，明镜一样，很清楚，我们要是求一组就费劲了，要好好的学学，
比哥猜证明有意思。

lusishun

哥德巴赫猜想的证明，隐含中国剩余定理的应用。

lusishun

lusishun 发表于 2023-3-27 22:24
韩信点兵的练习题，在您的心中，明镜一样，很清楚，我们要是求一组就费劲了，要好好的学学，
比哥猜证明有 ...

不是百分之九十五，是百分之九十九点九九 ，从理论上去研究哥猜证明的人，少之又少

王守恩

朱明君 发表于 2023-3-21 15:55
求数列10，45，63，140，180，315，…的通项公式

{10, 45, 63, 140, 180, 315, 385, 594, 702, 1001, 1155, 1560, 1768, 2295, 2565, 3230,
3570, 4389, 4807, 5796, 6300, 7475, 8073, 9450, 10150, 11745, 12555, 14384, 15312}

是上面这串数(给的项数太少)吗？请你试试下面这串数。

{1,  3,  5,  7, 10, 14, 18, 22, 27, 33, 39, 45, 52, 59, 67, 76, 85, 94, 104, 115,
126, 137, 149, 161, 174, 188, 202, 216, 231, 247, 263, 279, 296, 314, 331,
350, 369, 388, 408, 429, 450, 471, 493, 516, 539, 562, 586, 610, 635, 661}