证明 E、G 两点的坐标都是一个定值

天山草

这个题用复平面上的解析几何做是非常简单的。构图和设点方法为：设圆 O 为单位圆，圆心在坐标系原点。
H 点的坐标设为变量，令 H 点的坐标为 \(h=u+i v\)，由于 H 在单位圆上，故 H 点的共轭坐标为 \(\overline{h}=1/h\) 。由此可求出\(BH\)线与圆O及椭圆的交点\(D\)、\(P\)的坐标。然后再算出\(PA\) 线与椭圆的交点 \(C\) 的坐标。继续算出\(CB\) 线与圆O的交点 \(F\) 的坐标。最后算出\(CD\) 与\(PF\) 线的交点\(E\)以及\(DF\) 线与\(OB\) 线的交点\(G\) 的坐标。
结果是 \(E\) 点坐标和 \(G\) 点坐标都是常数，都与 \(H\) 点的坐标无关。
在程序中点的名称都用大写字母表示，点的复数坐标都用小写字母表示。小写字母上加一横线表示其共轭复数。在这个计算体系中，点的坐标算出后，往往需要同时算出它的共轭复数。

用 mathematica 写的程序：

程序运行结果：

程序代码：

1. Clear["Global`*"];
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; a = I; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = -I; b = I/2;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = -I/2; h = u + I v; \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = 1/h;
   
4. W1 = {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(d - 0) (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - 0) == 1, (h - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (d - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)), d != h}, {d, \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)}] // Flatten;d = Part[W1, 1];
   
5. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = Part[W1, 2]; Print["D = ", d];
   
6. W2 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(p + \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))^2/20 - (p - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))^2/16  == 1, (h - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (h - p)/(\!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\))}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
7. p = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W2, 2]; Print["P = ", p];
   
8. W3 = {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(c + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))^2/20 - (c -
   
9. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))^2/16  == 1, (a - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) == (a - p)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)), c != p}, {c, \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
10. c = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = Part[W3, 2]; Print["C = ", c];
    
11. W4 = {f, \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(f - 0) (\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - 0) == 1, (f - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (c - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))}, {f, \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
12. f = Part[W4, 3]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Part[W4, 4]; Print["F = ", f];
    
13. W5 = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(c - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (d - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), (p - f)/(\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)) == (f - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))}, {e,
    
14. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
15. e = Part[W5, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part[W5, 2]; Print["E = ", e];
    
16. W6 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(f - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (d - g)/(\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)), (o - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (o - g)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\))}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
17. g = Part[W6, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W6, 2]; Print["G = ", g];

复制代码

天山草

不知道用纯几何方法和传统平面解析几何（即笛卡尔平面解析几何）的方法如何做这道题？

期待大神赐教。

dodonaomikiki

支持一哈，好像硬算，不行！


看看有木有战术技巧

dodonaomikiki

如果硬算，硬着来，不港技巧，
C，D坐标肯定能搞出来，
最后，应该可以得到结论的！




但这样估计很烦躁，
或许也不符合出题者出题的初中

dodonaomikiki

天山草
我想，是这样！
题目肯定让高中生做的，这样一来，出题者的出发点，应该是不想让学生用复平面方法解决之！


还有，我又考虑到【调和点列法，
感觉苡不可行故而，思路突破点找不到，
不晓得在哪里！

dodonaomikiki

zai再支持一哈！

dodonaomikiki

两条线段统统切割单位圆，
可是，感觉切割线定理也用不到

dodonaomikiki

看到妥园的二级结论：
椭圆上一点发出的两条直线，
斜率之积一定。
那么，【另外两个交点】组成的一条直线，经过一定点