已知方程 x^8+ax^4+1=0 有四个实根，且四个实根成等差数列，求 a

wintex

請問數學

luyuanhong

uk702

luyuanhong 发表于 2023-3-26 13:03

请陆老师指导一下，下面的结论正确与否？

方程  \( x^m + q x^n + r = 0 \) ，
1）若 m、n 都是正整数，则在实数域中，方程最多只有 4 个解；
2）若 m、n 均为大于 0 的非整数，则方程最多只有一个解？

cgl_74

我也做了此题。分享下略有不同的一种解法：

luyuanhong

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波斯猫猫

题：已知方程 x^8+ax^4+1=0 有四个实根，且四个实根成等差数列，求 a 。

思路：显然y=x^8+ax^4+1是偶函数，故四个实根必关于x轴对称。又四个实根成等差数列，

故可设四个实根为-3d，-d，d，3d (d＞0)，则四个虚根为-3di，-di，di，3di。

由根与系数的关系有八根之积81d^8=1，解得d=√3/3。把此代入x^8+ax^4+1=0 ，

得1/81+a/9+1=0，解得a=-82/9。

wintex

波斯猫猫 发表于 2023-3-26 18:29
题：已知方程 x^8+ax^4+1=0 有四个实根，且四个实根成等差数列，求 a 。

思路：显然y=x^8+ax^4+1是偶函 ...

四个实根为-3d，-d，d，3d (d＞0)，则四个虚根为-3di，-di，di，3di。
請問為何

波斯猫猫

wintex 发表于 2023-3-26 18:44
四个实根为-3d，-d，d，3d (d＞0)，则四个虚根为-3di，-di，di，3di。
請問為何

少写了一步，本是设四个实根为e-3d，e-d，e+d，e+3d (d＞0)，则四个虚根为e-3di，e-di，e+di，e+3di（这样“分解”后虚实根必成对。）由根与系数的关系有八根之和8e=0，即e=0。

luyuanhong

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cgl_74

3楼的问题我看了，觉得有点意思。如果不考虑重根，命题1正确，命题2错误。如果考虑重根，则1，2都是错误的。可以严谨的证明。
我看问题是留给陆老师的，我就不给证明了。