已知平面上一点 P 到正三角形 ΔABC 三顶点的距离为 3,5,7 ，求正三角形 ΔABC 的面积

王守恩

已知平面上一点到正三角形三顶点的距离为 3,5,7,  求正三角形边长。

\(当四面体体积=0时,可求得正三角形边长\ a=8, a=\sqrt{19}\)

\(\sqrt{\frac{a^2(3^25^2+5^27^2+7^23^2+a^2(3^2+5^2+7^2)-a^4-3^4-5^4-7^4)}{144}}=0\)

附"四面体体积公式"：

\(\sqrt{\frac{aA(b+B+c+C)+bB(a+A+c+C)+cC(a+A+b+B)-(aA(a+A)+bB(b+B)+cC(c+C)+a(bc+BC)+A(bC+Bc))}{144}}\)

把四面体看作一个平放在桌面上的三角形ABC (P是顶点)，6条棱

\(BC=\sqrt{a},CA=\sqrt{b},AB=\sqrt{c},PA=\sqrt{A},PB=\sqrt{B},PC=\sqrt{C}\)

王守恩

已知平面上一点到正三角形三顶点的距离为 A,B,C,  求正三角形边长。

\(当四面体体积=0时,可求得正三角形边长\ a,不妨约定A≤B≤C≤A+B\)

\(\sqrt{\frac{a^2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4)}{144}}=0\)

\(a^2(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4)=0\)

\(A^2B^2+B^2C^2+C^2A^2+a^2(A^2+B^2+C^2)-a^4-A^4-B^4-C^4=0\)

\(a^4 - a^2 (A^2 + B^2 + C^2) - (A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2 - A^4 - B^4 - C^4) =0\)

\(a^2 - a (A^2 + B^2 + C^2) - (A^2 B^2 + B^2 C^2 + C^2 A^2 - A^4 - B^4 - C^4) =0\)

化简，至此，也就是解一元二次方程，2个解。

\((a_{1})^2=\frac{A^2+B^2+C^2+\sqrt{3(2A^2B^2+2B^2C^2+2C^2A^2-A^4-B^4-C^4)}}{2}\)

\((a_{2})^2=\frac{A^2+B^2+C^2-\sqrt{3(2A^2B^2+2B^2C^2+2C^2A^2-A^4-B^4-C^4)}}{2}\)

\(特别地,当A=3,B=5,C=7,解得a_{1}=8,a_{2}=\sqrt{19}\)