△ABC边BC上的内切圆切点D，AD交圆于F，BF交圆于E，CE交AD于G，若CD=CG，求证EG=GC

uk702

如图，圆O是△ABC的内切圆，边BC上的切点D，AD交圆O于F，BF交圆O于E，CE交AD于G，若 CD=CG，
问题：
是否存在这样的△ABC，满足 CG=CD？

若存在，下面的结论是否必然成立？
a）AD = AC；
b）EG = GC；

进一步，这时 A 点应该满足什么样的条件，使得 CG=CD ？

此题来自 tieba.baidu.com/p/8023357774，作者原本求证 AD=AC，但又说写错了，应该是 EG=GC 。

我尝试用 MMA 求解，且令 B = (0,0), C = (1, 0)，居然未能找到（计算出）任何一点 A，使得如图构造出来的 G 满足 CG=CD，虽然有些图肉眼看起来 CG=CD 成立，并且这时 a) 和 b) 看起来也成立（但经不住计算）。

uk702

令 A = (0.844214, 0.875424)，满足条件 CG=CD，故所求的 △ABC 是存在的，这时 EG = GC 成立，AC = AD 不成立。

天山草

上面这个三角形符合：CD = CG，EG = GC，AD=AC，AB=AC。tan∠ABC =\( \sqrt{15/7}\)，∠ABC 约等于 28.955度。

1. Clear["Global`*"];
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(i\), \(_\)]\) = i = 0; b = u - I; \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = u + I; c = v - I;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) =  v + I;  a = ((u + v) + I (v u - 1))/(u v + 1);
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = ((u + v) - I (v u - 1))/( u v + 1);
   
5. d = -I; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = I;
   
6. Simplify@Solve[{f \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) == 1, (a - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (a - f)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)), f != d}, {f, \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)}];
   
7. f = (2 I u v + u + v)/(2 u v + I u + I v); \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = (-2 I u v + u + v)/( u (2 v - I) - I v);
   
8. Simplify@Solve[{e \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) == 1, (b - f)/(\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\)) == (b - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), e != f}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}];
   
9. e = (-2 I u v + u - 3 v)/(-2 u v + I u - 3 I v); \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = -((2 I u v + u - 3 v)/(  2 u v + I u - 3 I v));
   
10. Simplify@Solve[{(a - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (a - g)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)), (c - g)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)) == (c - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}];
    
11. g = (u^2 (4 I v^2 + 4 v - 9 I) + 2 u v (2 v + 7 I) - 9 I v^2)/( u^2 (4 v^2 + 9) - 14 u v + 9 v^2); \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = ( u^2 (-4 I v^2 + 4 v + 9 I) + 2 u v (2 v - 7 I) + 9 I v^2)/( u^2 (4 v^2 + 9) - 14 u v + 9 v^2);
    
12. Simplify@Solve[{(c - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (c - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)), u < 0, v > 0}, {u, v}];
    
13. v = -((2 Sqrt[7 u^2 + 16] u + u)/(4 u^2 + 9));c = Simplify[v - I]; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = Simplify[v + I];
    
14.   a =  Simplify[((u + v) + I (v u - 1))/(u v + 1)]; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) =  Simplify[((u + v) - I (v u - 1))/(u v + 1)];
    
15. e = Simplify[(-2 I u v + u - 3 v)/(-2 u v + I u - 3 I v)]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) =  Simplify[-((2 I u v + u - 3 v)/(2 u v + I u - 3 I v))];g = Simplify[(  u^2 (4 I v^2 + 4 v - 9 I) + 2 u v (2 v + 7 I) - 9 I v^2)/(  u^2 (4 v^2 + 9) - 14 u v + 9 v^2)];
    
16. \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) =  Simplify[(u^2 (-4 I v^2 + 4 v + 9 I) + 2 u v (2 v - 7 I) + 9 I v^2)/(  u^2 (4 v^2 + 9) - 14 u v + 9 v^2)];
    
17. Simplify[(e - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)) == (c - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\))]
    
18. Simplify@Solve[{(a - d) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (a - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)), u < 0}, {u}];
    
19. u = -Sqrt[15]; v = -((2 Sqrt[7 u^2 + 16] u + u)/(4 u^2 + 9));
    
20. a = ((u + v) + I (v u - 1))/(u v + 1); \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = ((u + v) - I (v u - 1))/( u v + 1); b = u - I;
    
21. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = u + I; c = v - I; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = v + I;
    
22. Simplify[(a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (b - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))]
    
23. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
    
24. tan\[Angle][a_, b_, c_] :=  I (k[b, a] - k[b, c])/(  k[b, a] + k[b, c]); (*从AB边逆时针转到BC边的有向角\[Angle]ABC的正切*)
    
25. tan\[Angle]ABC = Simplify[tan\[Angle][c, b, a]];
    
26. tan\[Angle]ABC = Sqrt[15]/7; N[180/\[Pi] ArcTan[Sqrt[15]/7]]
    
27. N[{u, v}]
    
28. N[{a, b, c}]

复制代码

uk702

@天山草

我使用了如下的代码：

1. Clear["Global `*"];
   
2. 
   
3. (* 三角形 △ABC 的三个顶点 *)
   
4. b' = b = 0;
   
5. c' = c = 1;
   
6. 
   
7. a = (u^2 - v^2) / (v^2 (u^4 - 1)); a' = u^2 (u^2 - v^2) / (u^4 - 1);
   
8. 
   
9. (* AB 与 AC 的复斜率  *)
   
10. (* kab = 1 / (u^2 v^2); kac = u^2 / v^2; *)
    
11. 
    
12. (* △ABC 的外心 O *)
    
13. o = -1 / (u^4 - 1); o' = u^4 / (u^4 - 1);
    
14. 
    
15. (* △ABCD 的内心 I *)
    
16. i = (u + v) / (v (u^2 + 1)); i' = u (u + v) / (u^2 + 1);
    
17. 
    
18. (* 内切圆与 BC 的切点 *)
    
19. d = (u + v)(1 + u v)/(2 v (u^2 + 1)); d' = d;
    
20. 
    
21. (* 过 A、B 两点的复斜率定义 *)
    
22. k[a_, b_] := (a - b)/(a' - b');
    
23. k'[a_, b_] := 1/k[a, b];
    
24. 
    
25. sol1 = Simplify@Solve[{(f - i)(f' - i') == (d - i)(d' - i'), k[a, f] == k[a, d], f != d}, {f, f'}];
    
26. {f, f'} = {f, f'} /. Last[sol1];
    
27. 
    
28. sol2 = Simplify@Solve[{(e - i)(e' - i') == (d - i)(d' - i'), k[b, f] == k[b, e], e != f}, {e, e'}];
    
29. {e, e'} = {e, e'} /. Last[sol2];
    
30. 
    
31. (* 复斜率 k1 且过点 A1 与复斜率 k2 且过点 A2 的直线交点 *)
    
32. Jd'[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 a1' - (a2 - k2 a2'))/(k1 - k2));
    
33. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 a1') - k1 (a2 - k2 a2'))/(k1 - k2));
    
34. 
    
35. g = Simplify@Jd[k[c, e], c, k[d, a], d]; g' = Simplify@Jd'[k[c, e], c, k[d, a], d];
    
36. {Simplify[g], Simplify[g']}

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直到这一步，应该都很顺利，输出如下：

\[
\left\{\frac{(u v+1) \left(9 u^5 v^2+9 u^4 v^3+2 u^3 \left(9 v^2-2\right)+2 u^2 v \left(9 v^2+2\right)+13 u v^2+5 v^3\right)}{2 \left(u^2+1\right) v^2 \left(7 u^4 v+2 u^3 \left(v^2-1\right)+22 u^2 v-2 u \left(v^2-1\right)+7 v\right)}, \\
\frac{(u v+1) \left(5 u^5+13 u^4 v+2 u^3 \left(2 v^2+9\right)+u^2 \left(18 v-4 v^3\right)+9 u+9 v\right)}{2 \left(u^2+1\right) \left(7 u^4 v+2 u^3 \left(v^2-1\right)+22 u^2 v-2 u \left(v^2-1\right)+7 v\right)}\right\}
\]

因为要让 CG=CD，故写如下的代码：

1. Solve[{(c - g)(c' - g') == (c - d)(c' - d')}]

复制代码

解得：
\[
\left\{\left\{v\to -\frac{1}{u}\right\},\left\{v\to \frac{1}{u}\right\},\{v\to -u\},\{v\to u\}, \\
\left\{v\to \frac{-u^4+6 u^2-\left(u^2+1\right) \sqrt{u^4-254 u^2+1}-1}{2 \left(6 u^3+10 u\right)}\right\}, \\
\left\{v\to \frac{-u^4+6 u^2+\left(u^2+1\right) \sqrt{u^4-254 u^2+1}-1}{2 \left(6 u^3+10 u\right)}\right\}, \\
\left\{u\to -i \sqrt{\frac{5}{3}},v\to -\frac{1}{31} \left(8 i \sqrt{15}\right)\right\},\left\{u\to i \sqrt{\frac{5}{3}},v\to \frac{8 i \sqrt{15}}{31}\right\}\right\}
\]

前 4 组将导致 a = 0 或 a = 1，这时 A 与 B  或 C 重合，不符合要求。后 2 组 u、v 的模不为 1，故也为无效解。

第 5 组，我令 u = x + y I，则 x^2 + y^2 = 1, 于是解下面的方程：

1. 
   
2. u = x + y I; Solve[{x^2 + y^2 == 1, v == (-1 + 6 u^2 - u^4 - (1 + u^2) Sqrt[1 - 254 u^2 + u^4])/(2 (10 u + 6 u^3)), Abs[v] == 1}, {x, y, v}]
   

复制代码

解得：
\[
\left\{\left\{x\to 3 \sqrt{2}+4,y\to i \sqrt{3 \left(8 \sqrt{2}+11\right)},v\to -1\right\},\left\{x\to -3 \sqrt{2}-4,y\to -i \sqrt{3 \left(8 \sqrt{2}+11\right)},v\to 1\right\}\right\}
\]

由于 y 不是实数，故仍为无效解。

第 6 组，解以下方程

1. 
   
2. u = x + y I; Solve[{x^2 + y^2 == 1,  v == (-1 + 6 u^2 - u^4 + (1 + u^2) Sqrt[1 - 254 u^2 + u^4])/(2 (10 u + 6 u^3)),  Abs[v] == 1}, {x, y, v}]
   

复制代码

得以下 4 组有效解：
\[
\left\{\left\{x\to 4-3 \sqrt{2},y\to -\sqrt{3 \left(8 \sqrt{2}-11\right)},v\to -1\right\}, \\
\left\{x\to 4-3 \sqrt{2}, y\to \sqrt{3 \left(8 \sqrt{2}-11\right)},v\to -1\right\}, \\
\left\{x\to 3 \sqrt{2}-4,y\to -\sqrt{3 \left(8 \sqrt{2}-11\right)},v\to 1\right\}, \\
\left\{x\to 3 \sqrt{2}-4,y\to \sqrt{3 \left(8 \sqrt{2}-11\right)},v\to 1\right\}\right\}
\]

将上述 u = x + y I、v 值代入，得 a = 0.5 + 2 I，显然有问题，这时内心 I 和公式计算出来的值不相符，其它各点的坐标与公式计算出来的值也不相符。

@天山草，请问上面的解答过程有何问题？谢谢。

天山草

@uk702，我正慢慢看你的程序。我 3# 楼的程序中少了一句，现在已经加上，请重新复制下载。
另外，denglongshan 在 http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1
中的 5# 楼给出的那个程序，你运行一下看看有没有问题？你用的 MMA 版本好像比较高吧？我的是 9.0 版的，运行 denglongshan 的程序出错，增加了一句看似多余的语句后，运行正常了。我改了以后的程序如下。你把有"试了多次......."注释的那条语句去掉，看看能不能正确运行?

1. Clear["Global`*"];
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = a = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = (e \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))/c;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = (b c)/\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\); (*E在AC上，AH是分角线*)
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + e - c; d = b + \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) -
   
5. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\);(*Overscript[CE, \[RightVector]]和Overscript[BD, \[RightVector]]的尾巴都移到坐标系原点，由于CE=BD，所以移动后的两个向量关于横轴对称*)
   
6. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = (b c)/\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) + e - c; d = b + (e \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))/c -
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\); (*试了多次，必须增加这一行才能稳定运行。同时第二行也不能去掉，好奇怪！*)
   
8. g = (b + c)/2; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))/2; k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\));(*复斜率定义*)
   
9. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
   
10. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
11. f = Simplify@Jd[k[c, d], c, k[b, e], b]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k[c, d], c, k[b, e], b];
    
12. h = Simplify@Jd[1, a, k[f, g], g]; \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[1, a, k[f, g], g];
    
13. Simplify[{f, g, h}]
    
14. Simplify[f + h == 2 g]

复制代码

uk702

天山草 发表于 2023-4-2 18:55
@uk702，我正慢慢看你的程序。我 3# 楼的程序中少了一句，现在已经加上，请重新复制下载。
另外，denglong ...

将已经成立的图形代入程序，一步一步查找，发现是以下代码

1. 
   
2. Solve[{x^2 + y^2 == 1, Abs[(-1 + (1 + (x + I y)^2) Sqrt[1 - 254 (x + I y)^2 + (x + I y)^4] + 6 (x + I y)^2 - (x + I y)^4)/(2 (10 (x + I y) + 6 (x + I y)^3))] == 1}]
   
3. 
   
4. x = -0.890806; y = -0.454385; (-1 + (1 + (x + I y)^2) Sqrt[1 - 254 (x + I y)^2 + (x + I y)^4] + 6 (x + I y)^2 - (x + I y)^4)/(2 (10 (x + I y) + 6 (x + I y)^3))
   
5. 
   
6. Abs[%]
   
7. 
   

复制代码

有问题，至少是漏解。

uk702

天山草 发表于 2023-4-2 18:55
@uk702，我正慢慢看你的程序。我 3# 楼的程序中少了一句，现在已经加上，请重新复制下载。
另外，denglong ...

次序换过来之后就可以了，之前我也发现类似的问题，参考 bbs.emath.ac.cn/thread-18689-1-1.html。

天山草

@uk702
你的程序其实没有毛病，算出 G 点坐标以后继续写下去就行了。完整程序如下：

1. Clear["Global`*"];
   
2. b' = b = 0; c' = c = 1; a = (u^2 - v^2)/(v^2 (u^4 - 1));
   
3. a' = u^2 (u^2 - v^2)/(u^4 - 1);
   
4. (*\[EmptyUpTriangle]ABC 的内心 I*)i = (u + v)/(v (u^2 + 1)); i' = u (u + v)/(u^2 + 1);
   
5. (*内切圆与 BC 的切点*)d = (u + v) (1 + u v)/(2 v (u^2 + 1)); d' = d;
   
6. k[a_, b_] := (a - b)/(a' - b'); k'[a_, b_] := 1/k[a, b];
   
7. sol1 = Simplify@   Solve[{(f - i) (f' - i') == (d - i) (d' - i'), k[a, f] == k[a, d],  f != d}, {f, f'}];
   
8. {f, f'} = {f, f'} /. Last[sol1];
   
9. sol2 = Simplify@ Solve[{(e - i) (e' - i') == (d - i) (d' - i'), k[b, f] == k[b, e], e != f}, {e, e'}];
   
10. {e, e'} = {e, e'} /. Last[sol2];
    
11. (*复斜率 k1 且过点 A1 与复斜率 k2 且过点 A2 的直线交点*)
    
12. Jd'[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 a1' - (a2 - k2 a2'))/(k1 - k2));
    
13. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 a1') - k1 (a2 - k2 a2'))/(k1 - k2));
    
14. g = Simplify@Jd[k[c, e], c, k[d, a], d]; g' = Simplify@Jd'[k[c, e], c, k[d, a], d];
    
15. {Simplify[g], Simplify[g']}
    
16. Solve[{(c - g) (c' - g') == (c - d) (c' - d')}]
    
17. v = (-u^4 + 6 u^2 + (u^2 + 1) Sqrt[u^4 - 254 u^2 + 1] - 1)/( 2 (6 u^3 + 10 u));
    
18. v = (-u^4 + 6 u^2 - (u^2 + 1) Sqrt[u^4 - 254 u^2 + 1] - 1)/(2 (6 u^3 + 10 u));
    
19. a = Simplify@Factor[(u^2 - v^2)/(v^2 (u^4 - 1))];
    
20. Print["a = ", a];
    
21. a' = Simplify@Factor[((u^2) (u^2 - v^2) )/(u^4 - 1)];
    
22. d = Simplify@Factor[((v + u) (v u + 1))/(2 v (u^2 + 1))]; d' = d;
    
23. g = Simplify@Factor[((u v + 1) (9 u^5 v^2 + 9 u^4 v^3 + 2 u^3 (9 v^2 - 2) + 2 u^2 v (9 v^2 + 2) + 13 u v^2 + 5 v^3))/(
    
24.     2 (u^2 + 1) v^2 (7 u^4 v + 2 u^3 (v^2 - 1) + 22 u^2 v - 2 u (v^2 - 1) + 7 v))];
    
25. g' = Simplify@Factor[((u v + 1) (5 u^5 + 13 u^4 v + 2 u^3 (2 v^2 + 9) + u^2 (18 v - 4 v^3) + 9 u + 9 v))/(2 (u^2 + 1) (7 u^4 v + 2 u^3 (v^2 - 1) + 22 u^2 v - 2 u (v^2 - 1) + 7 v))];
    
26. e = Simplify@Factor[(u^4 v^2 + u^3 v (v^2 + 3) + 2 u^2 (v^2 + 1) + u (v - v^3) - v^2)/(2 (u^2 + 1) v^2 (3 u^2 - 2 u v + 1))];
    
27. e' = Simplify@Factor[(u^4 (-v) + u^3 (v^2 - 1) + 2 u^2 (v^3 + v) + 3 u v^2 + u + v)/(2 (u^2 + 1) (u^2 v - 2 u + 3 v))];
    
28. c' = c = 1;
    
29. Simplify@Factor[(e - g) (e' - g') == (g - c) (g' - c')]

复制代码

运行结果是：


即 EG=GC 成立。符合条件的三角形的形状有无穷多个，取决于单位复数 \(u\) 如何选择。
两个 v 值都能满足 EG=GC 的要求。

uk702

天山草 发表于 2023-4-2 23:01
@uk702
你的程序其实没有毛病，算出 G 点坐标以后继续写下去就行了。完整程序如下：

再一次错误地估计了 MMA 的能力了，我发现只要 |u| = 1，则必然有 |v| = 1 。

测试代码：
a = 0.763413`30;
u = a + Sqrt[1 - a^2] I;
v1 = (-u^4 + 6 u^2 - (u^2 + 1) Sqrt[u^4 - 254 u^2 + 1] - 1)/(2 (6 u^3 + 10 u));
v2 = (-u^4 + 6 u^2 + (u^2 + 1) Sqrt[u^4 - 254 u^2 + 1] - 1)/(2 (6 u^3 + 10 u));

{v1, "|v1| " Abs[v1], v2,  "|v2| "   Abs[v2]}

输出：
\[
\{0.0205741674885170164036990793+0.9997883294138587060033630417 i,1.000000000000000000000000000 \text{$|$v1$|$ }, \\
0.4236509773844331860503316961-0.9058255071266289314776850563 i,1.0000000000000000000000000000 \text{$|$v2$|$ }\}
\]

天山草

@ uk702，对于 8# 楼的程序，如何选择一个单位复数 u 的具体数字值，以便较准确的画出一个满足题目要求的三角形？ 我从另外一个途径给出了一个例子：\(u=0.850037 + 0.5267235 I\)，此时解出 \(v=0.3338811 - 0.9426152 I\)，画出的图如下：

另外，怀疑程序算出的 \(v\) 的两个解中，只有\(v =\frac{ (-u^4 + 6 u^2-1) + (u^2 + 1)\sqrt{u^4 - 254 u^2 + 1}}{u(12u^2+20)}\) 这个能用，另一个\(v =\frac{ (-u^4 + 6 u^2-1) - (u^2 + 1)\sqrt{u^4 - 254 u^2 + 1}}{u(12u^2+20)}\)不能用。