如果\(u\) 是单位复数，证明一个恒式

天山草

如果\(u\) 是单位复数，证明： \(u \sqrt{\frac{u^2 - 254 u + 1}{u^2}} = -\sqrt{u^2 - 254 u + 1}\)。

所谓单位复数，就是模为 1 的复数。


注：当 \(u\) 是单位复数时，有可能出现 \(\sqrt{u^2}=u\) 的情况，也有可能出现 \(\sqrt{u^2}=-u\) 的情况，但是不论是哪种情况，

上面的等式都成立。

此题目来源：https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... ;tid=18834#lastpost

uk702

补充：
1） u 无需为单位复数；
2）使用 MMA 进行验证，目前发现仅当 u 为 > 0 的正实数时不成立，其余皆正确。

uk702

按 kuing.infinityfreeapp.com/forum.php?mod=viewthread&tid=10639 中 hejoseph 的答复，复数开方本来就是多个值，因此 \( u \sqrt{\frac{u^2-254 u+1}{u^2}} \) 与 \(  \sqrt{u^2-254 u+1} \) 及 \( - \sqrt{u^2-254 u+1}  \) 应当理解为同一个意思。


而 \( v = \dfrac{-u^2+6u+(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}-1}{12u+20} \) 实际包含了两个值，它对应的共轭复数 \( \bar{v} \) 自然也是包含了两个值，所以

\( \bar{v}=\frac{-u^2-(u+1) \sqrt{u^2-254 u+1}+6 u-1}{u (20 u+12)} \) 还是 \( \bar{v}=\frac{-u^2+(u+1) \sqrt{u^2-254 u+1}+6 u-1}{u (20 u+12)} \) 其实也是一个含义。


更正：但是，由于 \( \bar{v} \) 有明确的几何含义，因此，谈 \( \bar{v} \)  时，应该先将上述多值化的  \(  v \) 实例化之后再谈其对应的 \( \bar{v} \)，确保 \( v \bar{v} = 1\)。


而将复数开方单值化之后，要写出正确的公式，并且进行正确的推导，几近不可能。


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MMA 说 u = 999 -I 时也不对，但奇怪的是，将 u 缩放成对应的单位复数，恒等式却被判断为成立。

1. 
   
2. u = 999 - I; {u Sqrt[(u^2 - 254 u + 1)/u^2], -Sqrt[  u^2 - 254 u + 1],  u Sqrt[(u^2 - 254 u + 1)/u^2] == -Sqrt[u^2 - 254 u + 1]} // N
   

复制代码

输出：
\[
\{862.703\, -1.01078 i,-862.703+1.01078 i,\text{False}\}
\]


而且 u = 999 -I 不对，恐怕还不能当成是计算误差，因为改为高高精度运算，依然认为是  False .

[code]
u = 999.0`999 - I; {u,   u Sqrt[(u^2 - 254 u + 1)/u^2], -Sqrt[u^2 - 254 u + 1],   u Sqrt[(u^2 - 254 u + 1)/u^2] == -Sqrt[u^2 - 254 u + 1]} // N
[\code]

输出：{999. - 1. I, 862.703 - 1.01078 I, -862.703 + 1.01078 I, False}

uk702

无论是多值化还是单值化，感觉数学大厦都是要倒的。

多值化：
\( \sqrt{-2} \) 有多少个值？\( \sqrt{-2} - \sqrt{-2} \) 有多少个值？\( \sqrt{-2} + \sqrt{-2} \) 有多少个值？ \( \sqrt{u} - \sqrt{u} = 0 \) 还成立吗？ \( x = \sqrt{-2}; x - x = 0 \)  还成立？ \( \sqrt{-2} + \sqrt{-2} = 2 \sqrt{-2} \) 还成立吗？

单值化：
假设  \( u \) 是一个复数，且 \( u \sqrt{\frac{u^2-254 u+1}{u^2}} \) =  \( \sqrt{u^2-254 u+1} \) ，而 \( k \) 是一个正实数，\( v = a/k \)，那么，\( v \sqrt{\frac{v^2-254 v+1}{v^2}} \) =  \( \sqrt{v^2-254 v+1} \)  是否还成立？

天山草

看来 1#  楼那个恒等式只是在 \(u=1\) 时是不成立的， \(u=1\)  时  \(u\) 也是一个单位复数，满足条件，结论却不满足。

那么问题又回到证明：

如果\(u\) 是一个单位复数，证明 \(v=\frac{6u-u^2-1+(u+1)\sqrt{u^2-254u+1}}{12u+20}\) 也是一个单位复数。------(1)

单独对 \(u=1\) 时可证明 (1) 式正确。在其它情况下，1# 楼的恒等式成立，依据这个恒等式可证明上式。

还有什么妙法能直接证明 (1) 式？

creasson

几何命题的复数证明， 如果没有充分有理化而导致根式计算，会出现这些问题. 因为复数开方的结果是多值的, 单纯地选择某一个分支进行计算并不能完全保证结果的正确性，而讨论分支又会导致繁琐,  所以，充分有理化是有必要的.  另外, 也可以转化为多项式方程讨论， 相比于根式计算都是更适当的.