已知 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) ，f(2)=1 ，f(1)≠1 ，求证：f(x+2)=f(x)

ccmmjj126

纯推理，若是连续函数，能推导出它的解析式吗？

波斯猫猫

已知 f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) ，f(2)=1 ，f(1)≠1 ，求证：f(x+2)=f(x)。

思路：在f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 中取b=1，有f(a+1)+f(a-1)=2f(a)f(1)。

因f(1)≠1，故f(a+1)+f(a-1)≠2f(a)，或f(a+1)-f(a)≠f(a)-f(a-1)。

在f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 中取b=2，有f(a+2)+f(a-2)=2f(a)，

或f(a+2)-f(a)=f(a)-f(a-2)=k (易验证f(x)是偶函数)。

在f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b) 中取a=2，b=0，有2f(2)=2f(2)f(0)，即f(0)=1。

故k=f(a+2)-f(a)=f(2)-f(0)=1-1=0。即f(a+2)=f(a)，或f(x+2)=f(x)。

luyuanhong

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luyuanhong

例如：设 f(x) = cos(πx) ，显然满足

   f(2) = cos(2π) = 1 ，f(1) = cos(π) = -1 ≠ 1 。

由两角和差余弦公式可得

    f(a+b) + f(a-b) = cos(πa+πb) + cos(πa-πb)

= cos(πa)cos(πb) - sin(πa)sin(πb) + cos(πa)cos(πb) + sin(πa)sin(πb)

= 2cos(πa)cos(πb) = 2f(a)f(b) 。

这时确实有

f(x+2) = cos(πx+2π) = cos(πx) = f(x) 。

cgl_74

我来给一个严谨的证明。

luyuanhong

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永远

luyuanhong 发表于 2023-4-6 07:47
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陆教授早安！

elim

ccmmjj 兄这道题目很妙！

试证 \(\small (f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b),\;f(2)=1,\,f(1)\ne 1)\implies f(x)=\cos(\pi x)\).

波斯猫猫

cgl_74 发表于 2023-4-6 00:11
我来给一个严谨的证明。

故k=f(a+2)-f(a)=f(2)-f(0)=1-1=0。即f(a+2)=f(a)，或f(x+2)=f(x)。
点评
cgl_74
证明存在错误。最后一步没有证据支撑。  发表于 2023-4-6 00:19

要知道，函数中的自变量只是一个符号而已，在这里，其本质是：对应法则f作用在“自变量加2”上和作用在“自变量”上的结果相同。

elim

我就是这个意思。我觉得可能需要函数在实数范围内连续的条件。至于要不要更强的可导条件，感觉上是不要。

ccmmjj 兄这道题目很妙！

我们有 \(\small f(1)+f(0)=2f^2(\frac{1}{2})\), 所以
\(\small f(1)-f(0)=2(f^2(\frac{1}{2})-1)=\cdots=2^n(f(2^{-n})-1)\prod_{k=1}^n(1+f(2^{-k}))\)
若\(\,f\,\)连续, 上式蕴涵 \(\small 2^n(f(2^{-n}-f(0))\to 0\,(n\to\infty).\)因为那个连乘积
趋于无穷. 所以 \(f'(0) = 0\)