哥德巴赫猜想的思考方法及证明

兼听明偏听暗

第一章         思考方法

一、为什么要写此猜想的思考方法呢？因为：
1、学过素数（质数）、偶数的小学生都能明白此猜想的意思，乱说证明的太泛滥，导致数学家不屑一顾，
2、看到用筛法证明的，我也不屑一顾。
3、在不看证明的前提下，用通俗的语言描述，就能明白证明者的想法，细究起来也有方向，避免各说各话。

二、证明哥德巴赫猜想的想法，很简单，
1、用自然数或正整数的连续，代替偶数的连续，哥德巴赫猜想除2就能做到，
这样做，就不再说偶数连续，直接说自然数连续或正整数连续。
2、如果奇素数p=2w+1，哥德巴赫猜想是3到n连续，实际情况是3到n+w连续，
在有限的正整数范围内，这个关系式一直成立，把它推广到无限，则是飞跃。
上面两点是确定哥德巴赫猜想与自然数或正整数的关系，当然，这篇文章里的n≥3。

三、单长、双长概念
1、单长是指：n的前面（包含自身）最大的奇素数p=2w+1中的w，
n与w是多对一的关系，这个定义与它的几何意义大不一样。
2、单长的几何意义
单长的几何意义是：3到自然数n+w的2倍，皆是两个素数之和，这里的两个奇素数p<2n，q<2n。
单长的几何意义是证明哥德巴赫猜想的钥匙，有了这把钥匙，可精雕出更好的钥匙，即双长。
3、双长的定义
双长是说，在单长的几何意义基础上，3到自然数n+i的2倍，仍满足“皆是两个素数之和”，而i是最大的那个数，
有单长的延长之意，这里的两个素数仍满足：p<2n，q<2n。
从单长、双长的几何意义，可得出:W≤I。注意字母的大小写，含义相同。

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四、双长有两个性质
1、不继续连表性质，说的是：连续两个正整数的双长之差
即I(n+1)-I(n)=I-1，或连续正整数与自身的双长之和，保持不变，即N+I=(N+1)+(I-1)不变。
2、继续连表性质
即I(n+1)≥I(n)，实际是I(n+1)>I(n)，去掉等于号，留给第二个通过此方法证明哥德巴赫猜想的人。
继续连表性质证明起来较难，不易读懂。
3、有了单长、双长概念，就可判断出：两个未知的数同时是奇素数。
          2（n+i+1）
          =2n+1+2i+1
       =2（n+1）+1+2（i-1）+1
       … … …
   （’）=2（n+i-w)+1+2w+1
其中2（n+x)+1和2（i-x）+1，w≤x<i-w
必有一对是素数，否则，与单长定义矛盾。
4、双长与数学归纳法
数学归纳法要求正整数是连续的，单长不做些说明做不到，双长则完全符合要求，双长的概念，恰好符合数学归纳法的要求。
结论：从长度的角度看，哥德巴赫猜想概念小于单长概念小于等于双长概念。
第二章可看作是对单长、双长、哥德巴赫猜想自2010年到2026年的总结。

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第二章     哥德巴赫猜想的证明

一、单长、双长的几何意义
1、单长的定义：大于等于3的自然数N，前面最大的奇素数（包含奇素数自身）P=2W+1中的W，称为单长。
2、单长的几何意义：自然数N≥3，对于N的单长W来说，从偶数6到偶数2（N+W）都是两个奇素数的和，称闭区间[3，N+W]连表，奇素数p<2n，q<2n。
3、双长及几何意义
双长是说，在单长的几何意义基础上，从3到自然数n+i的2倍，仍满足“皆是两个素数之和”，而i是最大的那个数，
有单长延长的意思，称闭区间[3，N+I]连表。这里的两个奇素数仍满足：p<2n，q<2n。双长、单长意义的证明见推广。
4、根据单长、双长的定义，计算有限的几个数据，以备以后用到。
N        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12
W        1        1        2        2        3        3        3          3          5        5
  I        2        3        2        3        6        5        6          9          8        9

下面是把双长的几何意义从有限，推广至无限的过程，单长的推广，留给感兴趣的人。

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二、基本概念
1、可表的定义：自然数N（N≥3）的2倍可以表示成两个奇素数之和，同时出现的这两个奇素数，称素数对。
2、连表的定义：满足条件的两个奇素数（P<2N）之和，可以表示成：从小到大不间断的偶数。
比如：3+3=6，3+5=8，5+5=10，5+7=12，7+7=14，5+11=16，7+11=18，即区间[3，9]连表，11<12中间的偶数，没有停顿，强调连续地有多个式子。

3、性质1或称不继续连表性质
命题：自然数N（N≥3），它的双长是I或I（n），如果2I+1和2N+1至少有一个不是素数，
则下一个自然数N+1，它的双长是I（n+1）：即I（n+1)=I（n）-1。
证明：由于2I+1和2N+1至少有一个不是素数，
即偶数2（N+1）没有在偶数2N、P<2N的基础上继续增加新的连表式子，
根据双长I的定义，可得：
P+Q=2（N+I（n））,     和&#160; &#160;&#160; &#160; P1+Q1=（N+1+I（n+1）），
因没有增加新的连表式子，故存在：&#160; &#160=P1，Q=Q1，
因此有： 2（N+I（n））=2（N+1+I（n+1）），
即可得出： I（n+1）=I（n）-1=I-1
故命题成立，称为不继续连表性质。
注意：这里N的双长，用I或I（n）表示，下一个正整数N+1的双长，用 I（n+1）表示。

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4、性质2或继续连表性质
命题： I（n+1）≥I（n）的充要条件是: 2I+1和2N+1都是素数。
证明：必要性
因 I（n+1）≥I（n），所以偶数2（（N+1）+ I（n+1））可表，可表的一对素数有3种情况，可能是：
1）、2I-1和2N+3、2I-3和2N+5、......、3和2（N+I）-1；
在这种情况下，如果有一对是素数，因最小的2N+3>2（N+1）,
不符合P<2（N+1），与 I（n+1）是自然数（N+1）的双长不符；
2）、2I+3和2N-1、2I+5和2N-3、......，不会无穷，
在这种情况下，如果有一对是素数，因最大的2N-1<2N，
则自然数N有大于I（n）的双长，不符合P<2N，与I（n）是N的双长不符；
3）、2I+1和2N+1，只剩下这种情况了，因
2N<2N+1<2(N+1)，
即：2I+1和2N+1是偶数2（N+I+1）的一对素数
故必要性成立。
证明：充分性
因：2I+1和2N+1是素数，有：
(2I+1)+(2N+1)=2（N+I+1）=2（（N+1）+I）≤2（（N+1）+ I（n+1）)，
又    2I+1<2（N+1），2N+1<2（N+1），
根据双长的定义，可得（N+1）的双长 I（n+1），大于等于N的双长I（n），
即： I（n+1）≥I（n）
综上所述，命题成立，称为继续连表性质。
这里N的双长用I（n）表示，下一个正整数（N+1）的双长用 I（n+1）表示。

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三、伯兰特且比雪夫定理的不同描述
1、伯兰特且比雪夫定理：区间（N，2N）内，至少有一个素数，称2倍N说。
奇素数区间（P，2P）内，至少有一个奇素数，更特殊一些。
2、闭区间[P，2P]内的奇素数表示：
2W+1、2（W+W1）+1、2（W+W2）+1、2（W+W3）+1、…，其中最大的小于2P。
3、伯兰特且比雪夫定理单长说。
因2（W+W1）+1<2（2W+1）推出：W1≤W，同理有W2≤W、W3≤W、…≤W，当W=1时，取等号，
又因W+W1≤W+W2≤W+W3≤、…≤2W，同样当W=1时，取等号。
即有：W1≤W2≤W3≤…≤W，称伯兰特且比雪夫推论1或单长说。
4、伯兰特且比雪夫定理的差之说
相邻的奇素数单长之差，小于等于第一个奇素数的单长，需注意是单长之差，不是奇素数之差，
用伯兰特且比雪夫推论1很容易证明，称推论2或差之说，与单长说基本一致。
5、伯兰特且比雪夫定理的覆盖说
因闭区间[3，N+I]在已知有限的范围内连表，即它们的2倍都是两个奇素数的和，而N+I≥N+W≥2W+1+W=3W+1
又N+I≥2（W+W1）+1一直成立：是斜率不一样造成的，随着N的增大，W1就会小于单长W的一半，
说明区间（N，N+I）已经覆盖相邻奇素数的区间（N，2（W+W1）+1）。
用伯兰特且比雪夫推论2很容易证明，称推论3或覆盖说。
6、由于伯兰特且比雪夫定理中N的取值范围，是无限的，导致单长、双长的取值范围对应的也是无限的。

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四、双长的几何意义推广：在自然数N≥3的区域成立。
命题：已知双长在有限范围内成立，证明在无限范围也成立。
证明：第一步，当P=3是第一个素数时，查第二章第一节第4点的表格，知3的双长数据是2，需验证自然数3-5的连表性，
因有6=3+3，8=3+5，10=5+5，素数5<6，命题成立，（3的相邻素数是5，与覆盖说一致）
当P=5是第二个素数时，查第二章第一节第4点的表格，知5的双长数据是2，需验证自然数5-7的连表性，
10=5+5，12=5+7，14=7+7，素数7<10，命题成立，（5的相邻素数是7，与覆盖说一致）
当P=7是第三个素数时，查第二章第一节第4点的表格，知7的双长数据是6，需验证自然数7-13的连表性，
14=7+7，16=3+13，18=5+13，20=7+13，22=11+11，24=11+13，26=13+13，素数13<14，命题成立，（7的相邻素数是11，与覆盖说一致）
以上3例，N+I都覆盖相邻奇素数的第二个奇素数。
第二步，假设奇素数Pk是第K个奇素数时，命题也成立，即Pk的双长是I，区间（Pk，Pk+I）之间数的2倍，
形成的偶数都是两个奇素数的和，即闭区间[Pk，Pk+I]连表，这时的奇素数满足条件Pk<2Pk，
第三步，根据第二步的假设，即闭区间[Pk，Pk+I]连表，
根据伯兰特切比雪夫推论3或覆盖说，区间（Pk，Pk+I）里至少有一个奇素数，
说明半区间[Pk，Pk+I）已覆盖相邻奇素数的闭区间[Pk，2（W+W1）+1]，
即第K+1个奇素数也成立，这时的奇素数满足P(k+1)<2P(k+1)。
对于区间（Pk，Pk+I）内，有几个奇素数，就继续使用第二步、第三步几次，达到区间（Pk，Pk+I）对应的奇素数为止。
既然在奇素数范围内成立，根据覆盖说，当然在N≥3范围也成立。
故双长的几何意义，在自然数N≥3的区域里成立，命题得证。

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五、哥德巴赫猜想的证明
证明：哥德巴赫猜想是说：对于自然数N≥3，2N可以分解成两个素数之和，
而双长的几何意义是:从偶数6到偶数2（N+I）都是两个素数的和，N的取值范围是无限的，素数P<2N。
表明哥德巴赫猜想在双长范围内，
这表明，哥德巴赫猜想成立。

20261101

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六、两个推论
推论1：自然数N≥3，如果I=W，则2N+1必是素数。
证明：
1、首先：N∈[2W +1，2（W+W1）]，
如果I(N+1)N+1不是素数，根据不继续连表性质1，则：
     I(N+1)=I-1，因I=W，有：1I=W-1<W
与自然数2W+1到自然数2(W+W1)的双长的计算都是从0+W开始的矛盾，
2、如果N+1是素数，因2N+1不是素数，则：
      I(N+1)=I-1=W-1<W，
与自然数2(W+W1）+1的双长的计算是从0+W+W1开始的矛盾，
故所证成立。
这个推论是说：当N的双长I等于单长W时，2N+1必是素数，
必是素数的原因，虽然都是假设，但有点不同：
1）、当N+1不是素数时，原因是与假设矛盾，
2）、当N+1是素数时，原因是与定义“W为素数2W+1的单长矛盾”。
也说明：不存在I=W时，2N+1不是素数的情况。
真是意想不到呀。
这也间接证明了，对应的最大素数对，大于等于2W+1。

根据我的计算：3≤N<100的自然数，其I=W的，只有N=5和N=15。

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推论2：哥德巴赫猜想，成立。
哥德巴赫猜想是说：对于自然数N≥3，2N可以分解成两个素数之和，用长度表示就是：
偶数6到偶数2N之间的长度，即：（2N-6）/2=2（N-3）/2=N-3。
前面说过，对于自然数N≥3，如果I=0，表示哥德巴赫猜想不成立，
而不等式：I≥W≥1，即从N=3开始，始终成立，
表明哥德巴赫成立，从绝对长度来说，哥猜的绝对长度只是绝对双长或绝对单长中的一个点，
故哥德巴赫猜想成立。



小结：   绝对                  相对
双长：   6-2（N+I），   (2N-2（N+I）)/2=I，         
单长：   6-2（N+W)，   (2N-2（N+W))/2=W,
哥猜长：6-2N,                2N- 2N

猫眼看人、哥德巴赫猜想吧，有过叙述。
备注：
1、可表（可以表示的），参见杜德利的《基础数论》，153页；
2、数据的归纳、推理，参见G.波利亚的《数学与猜想》，第六章，99页。