奇怪的三角等式：tan10° = tan20° tan30° tan40°

ccmmjj

有些三角等式有些奇怪的数字特征，比如说：sin20°+sin40°=sin80°及我上次发的“余弦666”，多是关于正弦和余弦的。这两天又看到一个关于正切的等式，

tan10°=tan20°tan30°tan40°

原证明很复杂，让人看了头昏。特挂在这里请教网友，有没有较好的推算？

时空伴随者

证明tan10°=tan20°tan30°tan40°
即证sin10°sin50°sin60°sin70°=sin20°sin30°sin40°sin80°
用和差化积公式即可
8×左边=4(cos50°-cos70°)sin50°sin70°=2sin100°sin70°-2sin50°sin140°
=cos30°-cos170°-cos90°+cos190°=cos30°
8×右边=4sin20°sin40°sin80°=2(cos20°-cos60°)sin80°
=2cos20°cos10°-cos10°=cos30°+cos10°-cos10°=cos30°
所以，左边=右边，原式成立。

luyuanhong

楼上 时空伴随者 的解答已收藏。

波斯猫猫

分析法：欲证tan10°=tan20°tan30°tan40°，只需证√3tan10°=tan20°tan40°，

√3tan10°=tan(30°-10°)tan(30°+10°)，即只需证√3(tan10°)^3-3(tan10°)^2-3√3tan10°+1=0。

而由1/√3=tan30°=[3tan10°-(tan10°)^3]/[1-(tan10°)^2]，

有√3(tan10°)^3-3(tan10°)^2-3√3tan10°+1=0成立。故原等式成立。

ccmmjj

谢谢两位解答者。

ccmmjj126

关于这道题其实有另一种简答。有一个教科书不教的正切三倍角公式：\(tan3θ=tanθtan(60°-θ)tan(60°+θ)\)
把它应用到30°上，得\( tan30°=tan10°tan50°tan70°\)，代入原式右边两边约去tan10°,
即得 \( 1=tan20°tan40°tan50°tan70°\),而\(tan20°tan70°=1, tan40°tan50°=1\)是显然的。故原式成立。
可是这道新题\(tan6°=tan12°tan24°tan48°\)用不上这个公式。

luyuanhong

luyuanhong