在 ΔABC 中，AB=c，BC=a，CA=b，D 为 BC 中点，证明：sin∠ADC≤2bc／(b^2+c^2)

wintex

在 ΔABC 中，AB=c，BC=a，CA=b，D 为 BC 中点，证明：sin∠ADC≤2bc／(b^2+c^2)

波斯猫猫

在 ΔABC 中，AB=c，BC=a，CA=b，D 为 BC 中点，证明：sin∠ADC≤2bc／(b^2+c^2)。

思路：由中线的性质，有中线m满足：4m^2=2(b^2+c^2)-a^2。

由三角形的面积，有amsin∠ADC/2=amsinθ=bcsinA/2，即m=bcsinA/(asinθ)。把此代入

上式得，4[bcsinA/(asinθ)]^2=2(b^2+c^2)-a^2，即4[bcsinA/(sinθ)]^2=a^2[2(b^2+c^2)-a^2]

=(b^2+c^2-2bccosA)(b^2+c^2+2bccosA)=(b^2+c^2)^2-4(bccosA)^2，

故[(b^2+c^2)^2-4b^2c^2](sinθ)^2=4b^2c^2[1-(sinθ)^2](sinA)^2≤4b^2c^2[1-(sinθ)^2]

即(sinθ)^2≤4b^2c^2/(b^2+c^2)^2，或sinθ≤2bc/(b^2+c^2)。

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答已收藏。