关于地球地图

雷明85639720

关于地球地图
雷  明
（二○二三年三月十日）

一，地球的表面：
1，地球是一个南北两极略为偏平的椭球体。地球的表面也就是一个椭球面，是一个亏格为0的曲面。地球表面可以拓展为平面（当然平面也可以收缩为球面），所以平面和地球表面（球面）的亏格都是0。
2，地球表面有两种不同属性的区域，即固定不变的固体陆地区域和可以流动的液体区域一一海洋区域（咸水域）。海洋又有两个互不连通的部分：一是由里海单独构成的内陆海，二是包括相互连通的太平洋，大西洋，印度洋和北冰洋四大洋以及地中海在内而构成的占地球表面60—70％的浩瀚大海洋。在这里里海实际上就是海洋咸水区域的“飞地”。陆地区域中虽然也有属于液体的水域，但一般情况下这些都是外流河或外流湖，都是淡水，最终都流入到大海洋中去了。所以可以把它们看成是地球表面上陆地区域中的地形地物来进行处理，而不属于水域。地球表面某些区域中虽然也有内流河与内流湖（咸水域），但却不象里海那样，周围与好多个国家（区域）相邻，而只是分布在同一个国家区域之内，所以也就不再作为海洋的飞地看待了。
3，陆地区域则是被海洋分割成了成千上万个大大小小的岛屿。大到可以是连成一体的欧亚非三洲的大陆和美洲大陆，小到可以是在海平面以下的，随着海浪的流动，时而显露，时而隐去的暗沙（如我国南海中南沙群岛的曾毌暗沙）。地球表面的陆地上有天然的山川河流等地形地物，各个岛屿与海洋的接触处还有婉延曲折的海岸线等，这些也都构成了划分囯家与国家边界线的天然参考。地球表面的岛屿虽然几乎多到数不清的程度，但有两个以上的国家领土的岛屿却只有了了的不到10个。它们分别是欧亚非大陆，美洲大陆，亚洲的加里曼丹岛，欧洲的爱尔兰岛，美洲的海地岛和火地岛，以及横跨亚澳两洲的新几内亚岛等岛屿。而其他的岛屿均属于沿海国家和海洋国家的部分领土（即飞地）。
4，一国多地的情况：地球表面上的内陆国家中，除了个别少数国家是有两块以上互不连通的一国多地国家外，一般都是一国一地，而海洋国家和沿海国家却都是一国多地型的国家。一国多地国家除了把较大的一块叫做“本土”外，其余的部分都叫“飞地”。当然里海也就可以看做是海洋的“飞地”了。
5，国家与国家的相邻关系：地球表面的国家（区划）把地球表面的各个岛屿分成了许多区域，每个区域均分别属于某一个国家。国家与国家的相邻关系是：在一个国家的四周邻接着分别从一个国家开始的数量不同的国家，且这些国家也是彼此按顺序相邻的，就象是一个中心国与有不同数量的卫星国构成的无形的车轮一样。只与一个国家相邻的国家是国中之国（如莱索托只与南非一国相邻），只与两个国家相邻的国家是两国夹国（如蒙古国只与中国和俄罗斯两国相邻），与三个国家相邻的国家是三国环国，等等等等。三国环国这种3一轮结构的四国家集团，也是地球表面上国家集团数量最大且两两国家均相邻的国家集团。这也说明了地球表面根本不存在两两国家均相邻的五国集团。
6，地球表面没有肉眼可见的国界线：地球表面虽然有二百多个国家，但却没有明显的可以用肉眼看得见的边界线。只是在所谓的边界线的拐弯处，极髙点（峰点），极低点（谷点）设有界桩，在开阔地带可能还有界网，界墙等，这些边界线明显都是人为的。所以说地球表面原本就是没有边界线的，所谓的边界线，除了某些部段是自然的地形地物外，其他部段都是人为的。
二，地球地图：
1，地球仪：把地球表面上天然的，人为的区域界线画到球面上不得到一个地球仪，就是一个地球地图。可以看出，地球是一个图论中不连通的图，每一个不连通的部分就是地球表面上的一个岛屿。这就是地球地图的全图。若缺少某一个不连通的部分，或者在地图图匡以内不存在无限面的地图，都是局部的地球地图。所以地球地图中的每一个不连通的部分也都是一个地图。另外，还可以看出地球地图中的每一个顶点都是由三条边界相交构成的“三界点”，这就是人们平时所说的“三不管”地区。所以说地图都是一个3—正则的平面图。
2，地图是一个3—正则的平面图：在地球地图中，任一个连通的部分，只要存在从任何一个顶点到另外任何的一个顶点都必须要经过某一条边时，则还条边就叫“割边”。即若“割断”这条边时，这个连通的部分地图就会被分割成两个不连通的部分。所以说任何一个连通的地图又都是一个无割边的3—正则的平面图。地球地图中区域与区域，国家与国家的相邻关系与地球表面是完全相同的。地球地图中两两国家均相邻的国家集团中最大的国家数也只是4。
三，地图的对偶图：
1，平面图的对偶图。把平面图的每个面的中心点作新的顶点，并把相邻的两个面所对应的新顶点用新的边连接起来，这样所得到的新图就是原平面图的对偶图。任何平面图的对偶图仍然是一个平面图。对偶图的顶点对应的是原图的面，而对偶图的面则对应的是原图的顶点。
2，地图的对偶图。地图是无割边的3—正则的平面图，按平面图对偶图的定义，地图的对偶图就应是各面都是三边形面的连通的极大平面图。可以看出，给地图中面的染色，实际上也就时对其对偶图的顶点着色。
3，地图的色数最大是4：地图中两两都相邻的国家集团中最大的国家数是4，而地图的对偶图（平面图）中的最大团（两两顶点均相邻的顶点）中的最大顶点数也是4。看来给地图面上的染色和对其对偶图的顶点着色，最多4种颜色就都可以够用了。但这还只是理论上的结论，还得要经过着色实践的检验。如果任何平面图（或地图）的色数都不大于4时，则四色猜测就是正确的，否则四色猜测就不正确。
四，平面图的4—着色：
1，现在我们用对地图的对偶图（极大平面图）的顶点着色来代替给地图的面的染色。只要任何极大图的色数是不大于4的，已经4—着色的极大平面图经去顶和减边所得到的非极大的任意平面图的色数只能会减少而不会再增加，所以任意平面图的色数也一定是不会大于4的。
2，因为平面图两两顶点均相邻时的最大团的顶点数最4，所以我们就用A，B，C，D来代表四种颜色。因为给任何平面图着色时，总存在着一个最后要着色的顶点，当与该顶点相邻的顶点数小于4，或者与该顶点相邻的顶点所占用的颜色数小于4时，该顶点一定是可以着上图中已用过的4种颜色之一的。否则，则必须使用坎泊所创造的颜色交换技术，从该顶点的邻点中空出一种颜色来给该顶点着上。看来好象问题就应该解决了。但是平面图中的顶点所连接的顶点数（度）可以是任意的，总不能一个个的去试着交换吧！也是试不完的。况且还存在着交换后还能不能空出颜色来的问题。这个问题有没有办法解决呢？有。
3，从图论中可知，任何平面图中一定至少存在着一个顶点的度是小于等于5的。这就说明在对任何平面图着色时，一定是可以把最后要着色的顶点放在度是小于等于5的顶点之上。坎泊早已证明了最后任何度为4的顶点都是可以4—着色的。
4，与度为5的顶点相邻的顶点当占用完了4种颜色时，一定是有两个顶点是用了相同颜色的。若给两个相同颜色的顶点用B色，两个B色中间的顶点（叫峰点顶点）用A色，其他两个顶点分别用C色和D色，则称为BAB型或双B夹A型。1879年坎泊只证明了A一C连通链和A一D连通链不交叉时的各种情况下都是可约的（可4—着色的），而遗漏了A—C链和A—D链又相交叉时的情况。虽然赫渥特在1890年发现了这一情况，但他也只是发现了其中的一种，并且就连这仅有的一种，坎泊与赫特两人也都不能进行4—着色。这里我们就主要讲讲这种有A—C和A—D双环交叉链的情况下如何进行4一着色的问题。
5，只要有了A—C和A—D的双环交叉链，就都不可能空出颜色A，C，D三色之一，但有些情况则是可以连续的移去两个同色B的，就可以移去两个B，使问题得到解决。在不能连续的移去两个同色B的情况下，又有两种情况，即有环形链A—B（或C—D）和无环型链的两种情况。
在有环形链的情况下，使用断链法进行解决。有A—B环形链时，可以任在A—B环形链内外交换C—D链，使图转化成无双环交叉链的构形，再用坎泊链法进行4—着色。同样，在有C—D环形链（赫渥特发现的就是这种）时，可以任在C—D环形链内外交换A—B链，使得双环交叉链断开，再按无双环交叉链的方法进行着色。
在无环形链的情况下，就得使用转型法了。转型交换就是同时改变峰点位置和颜色的交换。
五，连续转型交换法：
1，四种颜色六种链：在这种既有双环交叉链又无环形链的情况下，由A，B，C，D四种颜色可能构成的六种色链中，已有A—C链和A—D链不能交换，也没有可以交换的A—B链和C—D链，而B—C链和B—D链又不能连续的交换，那么就只有对B—C链和B—D链先交换其一使情况发生转化了。因为从两个同色顶点开始交换的结果是不同的，所以转型可分为逆时针方向转型和顺时针方向转型，可分别把峰点是A色的BAB型转化成峰点分别是C色和D色的DCD型和CDC型的情况。这就是转型交换法命名的来历。连续转型时，开始选择了那个方向转型，以后就不能再改变了，因为两个方向的转型是互逆的，改变了转型方向，转型就会沿着相反的方向退了回去。
2，每次转型可能的结果有三种。一是直接转化成无双环交叉链的情况，二是先转化成既有双环交叉链，又有环形链的情况，三是仍然是既有双环交叉链，也仍是没有环形链的情况。前两者问题也就可以得到解决，若是后者，就得再继续的进行连续转型。
3，现在可以总结出坎泊交换，断链交换和转型交换三种交换方法的不同特点了。
①适应性情况：坎泊交换适应于无双环交叉链和虽有双环交叉链但可以连续的移去两个同色的情况。断链交换适应于既有双环交叉链又有环形链的情况。转型交换适应于虽有双环交叉链但无环型链的情况。
②所交换的链：坎泊交换交换的一定是含有5—轮轮沿顶点的对角链。断链交换交换的既可以是含有5—轮轮沿顶点的邻角链，也可以是不含5—轮轮沿顶点的同名链。转型交换交换的则是含有5—轮两个同色顶点的对角链或邻角链。
③交换的结果：坎泊交换一次或两次（只对交换含有两个同色的链而言）后，直接可从5—轮轮沿顶点中空出一种颜色给未着色的5—轮的中心顶点着上。断链交换后，图就会转化成了无双环交叉链的情况了，再进行一次坎泊交换即可空出一种颜色给轮的中心顶点着上。而转型交换因为结果较多，又是可连续进行交换的，所以还存在着一个交换次数是否是有限的问题，也存在着一个“有限次”的上界值的问题，所以就留待下一问题专讲。
六，连续转型最大转型次数的上界值：
1，着色实践的结果。通对大量的既有双环交叉链又无环形链的图使用转型法的着色实践，都是在有限的转型次数内可以解决问题的，但这却还不能肯定的说这种情况下的所有图都一定可以在有限的转型次数内解决问题。但也不可能对这种情况下的图一一进行着色，而且也永远是着不完的。所以就得用原命题的逆否命题与原命题是“同真同假”的逻辑关系进行推理，得到一个由个别到一般的证明。
2，逻辑推理证明。进行连续转型过的图再多，但对于无穷无尽的该类图来说总是个别的。从对个别图的连续转型中得到的原命题是“既有双环交叉链又无环形链的图进行有限次转型一定是可以4—着色的”，其逆否命题则是“进行了无穷次转型仍是不可以4—着色的图一定是既有双环交叉链又有环形链的图”。这个逆否命题是真的，1921年由埃雷拉给出的E一图就是这样的一个图，即就是对其进行无穷次转型也是不可以4—着色的（但因其又是有环形链的图，所以还是可以用断链法进行4—着色的。1935年欧文已经用与断链法实质上是相同的方法对其进行了4—着色。当时欧文把他的方法叫做正切法）。逆否命题是真的，根据逻辑关系，原命题当然也就是真的了。所以既有双环交叉链又无环形链的图一定可以在有限的转型次数之内进行4—着色的。
3，对E一图连续转型结果的分析。从转型次数上说是无穷（即无限）次转型也解决不了该图的4—着色问题的。而从每次转型的结果来看，不仅是有无穷多个结果，而且是每隔间距为20次时的两个转型结果都是完全相同的图，也就是说转型的结果还是周期循环的。就象循环节是20位的无限循环小数那样，永无休止的无穷循环下去。为什么循环周期是20呢？因为以上的转型是对角链转型，四种颜色每种既都可以做峰点的颜色，也可以做两个同色顶点的颜色（或者说转型的结果有BAB，ABA，DCD和CDC四种类型），且峰点可以在5—轮的5个轮沿顶点间进行变化。因为4×5＝20，所以对角链转型的循环周期是20。而邻角链转型时，峰点颜色只在三种颜色间进行变化，也即转型结果只有BAB，BCB，BDB三种类型，两个同色顶点总是不变化的B色，峰点仍是在5个轮沿顶点之间进行变化的。所以邻角链转型的循环周期是3×5＝15。由此可以看出，E—图只是一个个别的图，连续连型是无穷周期循环的，总不可空出颜色给未着色顶点。虽然是这样，如前所说，它却不影响对E—图在用断链法进行着色时，仍是一个可4—着色的图。而我们在这里所研究的图，却不只是一个，而是代表着一类这样的图。这类图是可以在不循环的有限次转型次数内解决问题的。
4，寻找“有限次”的“上界值”的必要性。“有限次”的范围到底是多大？总得是要有一个上线（限）值的。没有上线值的＂有限＂实际上还是“无限”或“无穷”。那么，这类图的4—着色问题就还是不能解决。四色问题也就不能彻底解决。所以必须有一个转型次数的“上界值”。转型时如果某次转型得到的图可以空出颜色给未着色的顶点，显然问题也就解决了。我们先不考虑这种情况，而只考虑空不出颜色的转型。
5，对转型结果的分析。当转型次数第一次达到循环周期时，若转型结果与转型开始时的初始状态完全相同，这时还不可能确定转型是否是出现了循环，或是否是有穷的，还是无穷的。因为有可能转型次数在达到第二个循环周期之前，转型就可以结束。而只有当转型次数达到第二个循环周期时，才能确定是出现了无穷的周期循环。因为这时的转型结果一定是与转型时的初始壮态也完全相同。如果转型次数第一次达到循环周期时，转型结果与转型开始时的初始状态不完全相同时，也不能确定转型是否是有穷的，还是无穷的，同样也是要等到第二个循环周期到来时，才能确定是无穷不周期循环的转型。因为这时的结果一定也是与第一个循环周期出现时的结果也是不相同的。
6，“有限次”的上界值。看来，以上分析所得的两种结果均不是我们所需要的，因为我们这里所研究的图已经经过了证明，一定是有限次转型的，而不是无穷次转型的。但从以上的分析中却可以看出，转型次数只有在完成了第二个循环周期时，才能确定出该转型是否是循环的转型和是否是无穷的转型。所以对于对角链转型来说，“有限次”的上界值是40次，而对于邻角链转型来说，“有限次”的上界值却是30。
七，地球地图的色数:
以上只是从对地球表面上的区域不分属性而得到的地图的着色数是不大于4的。而要使地球表面的水域与内陆中的不沿海区划彻底的不用相同的颜色区分开来时，则地图地图的色数又是不大于5的。因为陆地上存在着四个国家两两国家均相邻的情况，己占用完了四种颜色，再加上一个海洋，所以地球地图染色时最少也得要准备五种颜色才能够用。月球上没有水域，所以无论在月球上怎么划分区域，月图的色数都是不会大于4的。

以上就是我对地球地图的认识和对四色猜测的证明。请四色爱好者朋友提出意见。

雷  明

二〇二三年三月十日于长安