关于极大图

雷明85639720

关于极大图
雷  明
（二○二三年三月二十一日）

1，极大图就是把密度是ω（ω≥0，密度即图中最大团Kω的顶点数ω，团是图中两两顶点均相邻时的完全分子图）的图嵌入到亏格为n（n≥0）的多阶定向曲面上时，各面都是三边形面，并在顶点以外再无边与边相交叉情况的图。或者说极大图是顶点数相同时边数最多的图。
2，亏格n＝0时的定向曲面（球面，也包括平面）可嵌入的图叫平面图，其密度是1≤ω≤4，若平面图的顶点数是v时，该极大平面图的边数是e＝3v一6。
3，亏格为n≥1的定向曲面所能嵌入的图统统都叫做非平面图（因为这些图画在平面上时，在非顶点处会出现有边与边相交叉的情况）。曲面的亏格不同，极大图的边数e与顶点数v的关系也不同。根据多阶曲面上图的欧拉公式，可推导出多阶曲面上极大图的边与顶点的关系式为e＝3v一6（1一n）。当曲面的亏格n＝0时，e＝3v一6，这就是前面所说的极大平面图的边数与顶点的关系式。
4，可嵌入到n＝1的定向曲面（轮台面，环面）上的图的密度是5≤ω≤7的，可嵌入到n＝2的定向曲面（麻花曲面，＂8＂字形曲面）上的图的密度是ω＝8等等。曲面的亏格不同，可嵌入其上的图的密度也不相同。
5，图的亏格：同一个图可以嵌入到不同亏格的曲面上，图的亏格就是其可嵌入曲面的最小亏格。如完全图K4可嵌入到任何亏格的定向典面中，其中最小亏格的曲面的亏格是n＝0，所以K4图的亏格也就是0，K4就是平面图。
6，多阶曲面上图的色数：根据多阶曲面上图的欧拉公式，还可以推导出多阶曲面上图的着色数公式，这就是赫渥特的着色数公式，即着色数c≤〈（7十√（1＋48n））／2〉，其中c是图色数，n是多阶曲面和图的亏格。〈   〉表示其中的数字向下取整。该公式同时也说明了凡密度是1≤ω≤c的图都是可以嵌入亏格是n的曲面的。
7，四色猜测的证明：把平面图的亏格及球面（平面）的亏格n＝0代入赫渥特着色公式得c≤4，这就是四色猜测。这也就证明了四色猜测是正确的。

雷  明
二○二三年三月二十一日于长安

朱明君

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晋源泉

四色猜测的证明：把平面图的亏格及球面（平面）的亏格n＝0代入赫渥特着色公式得c≤4，这就是四色猜测。这也就证明了四色猜测是正确的。