平面或球面上不存在五色地图——反证法证明四色猜测是正确的

雷明85639720

平面或球面上不存在五色地图
——反证法证明四色猜测是正确的
雷  明
（二○二三年二月二十一日）

1，四色猜测说的是任何平面地图或球面地图染色时最多四色种颜色就够用了。虽然不可能把所有的地图都染色完毕，但可以构造出最小五色地图并证明这样的地图不是平面地图或球面地图。由此就可以得出在亏格为0的球面上或平面上是不存在五色地图的。这也就证明了四色猜测是正确的。因为现阶段我们所说的地图都是指亏格为0的平面地图或球面地图。
2，从图论中可知，任何地图都是一个无割边的3—正则的平面图。由于平面图的对偶图仍是平面图，所以地图的对偶图也一定都是一个极大的平面图。那么平面或球面上存在不存在这样的最小五色地图呢？
3，1840年梅比乌斯提出的＂五个王子＂问题就是这样的最小五色地图的问题。说有一个国王在临终时说，他死后把他的国家分成五份，要求任两份间都要有边界线相邻。因为是任两份都相邻，当然染色时五份就得用五种颜色。这就是一个最小五色地图的问题。
4，但这样的最小五色地图在亏格为0的平面或球面上是画不出来的，因为老国王的国家正好就是在一个亏格为0的球面或平面上的。平面图的对偶图仍是平面图，而该五色地图的对偶图却不是一个平面图而是非平面图。因为其对偶图中明显的出现了在顶点以外的交叉边。其对偶图的边数也是不符合平面图的要求的。有5个顶点的平面图的边数是E（边数）≤3Ⅴ（顶点数）－6≤3×5—6≤9的，而最小五色地图的对偶图的边数却是E＝Ⅴ（Ⅴ－1）÷2＝5×4÷2＝10，显然平面图中是不存在最小五色地图的。但最小五色地图在亏格大于0的所有定向曲面中的确又是存在的。
5，如果说五个王子问题中的五份地任两份间都要有边界线不好理解，于是有人又提出了＂五座宫殿＂的问题。要求五个儿子在自已的分地上各修一座宫殿，且要求在任两个宫殿间要修一条大路以直达对方。这时问题就变成了一个以宫殿为顶点的一个完全图K5。因为K5图是一个典形的非平面图，在亏格为0的平面或球面上是绝对不可能存在的。
6，到此，已证明了平面或球面上是不存在五色地图的，同时也就证明了平面或球面上的四色猜测是正确的。

雷  明
二○二三年二月二十一日于长安