一个半圆里挤有2个小半圆与1个小圆

王守恩

一个半圆里挤有2个小半圆与1个小圆，如图。

已知2个小半圆半径是x,y,  求小圆半径。

波斯猫猫

提示：利用内切和外切的关系，在两个三角形中，两次使用中线长公式，易算出r=3/7.

时空伴随者

王守恩

时空伴随者 发表于 2023-4-19 10:46

\(一个半圆里挤有2个小半圆与1个小圆，已知2个小半圆半径是x,y, \ \ \ x≥y\)

\(小圆半径\ r=\frac{x^2y+xy^2}{x^2+xy+y^2},\ \ \ \ \cos∠BDC=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

4个方程都可以得到  \(r=\frac{x^2y+xy^2}{x^2+xy+y^2}\)

\(\frac{(x)^2+(y+r)^2-(x+y-r)^2}{2(x)(y+r)}=\frac{(x+y)^2+(y+r)^2-(x+r)^2}{2(x+y)(y+r)}\)

\(\frac{(y)^2+(x+r)^2-(x+y-r)^2}{2(y)(x+r)}=\frac{(x+y)^2+(x+r)^2-(y+r)^2}{2(x+y)(x+r)}\)

\(\frac{(x)^2+(x+y-r)^2-(y+r)^2}{2(x)(x+y-r)}=\frac{(x+r)^2-(y)^2-(x+y-r)^2}{2(y)(x+y-r)}\)

\(\frac{(y+r)^2-(x)^2-(x+y-r)^2}{2(x)(x+y-r)}=\frac{(y)^2+(x+y-r)^2-(x+r)^2}{2(y)(x+y-r)}\)