平行四边形 ABCD 中，E∈CD，BE 平分 ∠ABC，CF⊥AD，∠FEB=45°，FD=8，CH=9，求 BC

uk702

如图，平行四边形ABCD中，E是 CD上的一点，BE平分∠ABC，CF⊥AD，∠FEB=45°，FD=8，CH=9，求 BC。

王守恩

\(\frac{8}{sin(45+B)}=\frac{FE}{sin(2B)},\frac{FE}{cos(B)}=\frac{EH}{\sin(45+B)},\frac{EH}{\cos(2B)}=\frac{9}{\sin(B)}=\frac{BC}{\cos(B)}\)

8/Sin[\[Pi]/4+B]==FE/Sin[2B], FE/Cos[B]==EH/Sin[\[Pi]/4+B], EH/Cos[2B]==9/Sin[B]==BC/Cos[B]

天山草

此题答案为 \(BC=15\)。

构图方法：B 为原点，内切圆半径为 1，BC 边与横轴重合。T、C 点坐标为两个变量。这个构图的好处是自由变量都是正实数，因而点的坐标容易分离出实部和虚部。

uk702

假设 BC 的长度为 u。

1. a' = 16 - a; b'=b=0; c'=c=u; d=a+c-b; d'=a'+c'-b';
   
2. f = d - 8; f' = d' - 8;
   
3. h = c + 9 I; h' = c' - 9 I;
   
4. 
   
5. (* p 关于直线 AB 垂足的坐标 *)
   
6. Foot[p_, a_, b_] := (a' b - a b'+ (a - b) p' + (a' - b') p) / (2 (a' - b'));
   
7. Foot'[p_, a_, b_] :=  (a b' - a' b + (a' - b') p + (a - b) p') / (2 (a - b));
   
8. 
   
9. (* 过 A、B 两点的复斜率定义 *)
   
10. k[a_, b_] := (a - b)/(a' - b');
    
11. k'[a_, b_] := 1/k[a, b];
    
12. 
    
13. (* 直线 AB 与 CD 的交点，注意第二式前头有个负号 *)
    
14. FourPoint[a_, b_, c_, d_] := ((c' d - c d')(a - b) - (a' b - a b') (c - d)) / ((a - b)(c' - d') - (a' - b') (c - d));
    
15. FourPoint'[a_, b_, c_, d_] := -((c d' - c' d)(a' - b') - (a b' - a' b) (c' - d')) / ((a - b)(c' - d') - (a' - b') (c - d));
    
16. 
    
17. (* E 是 CD 与 BH 的交点 *)
    
18. e = FourPoint[c, d, b, h]; e' = FourPoint'[c, d, b, h];
    
19. Print[{e, e'}]
    
20. 
    
21. (* ∠FEB = 45°，BE 是 ∠ABC 的角平分线 *)
    
22. Solve[{k[f, e]/k[b, e] == -I, k[a, b] k[b, c] == k[b, e]^2, u > 0}, {a, u}]

复制代码

输出：
\[
\left\{-\frac{(-u-9 i) (u (a+u)-u (-a+u+16))}{-((a-16) (-u-9 i))-a (-u+9 i)},\frac{(-u+9 i) (u (-a+u+16)-u (a+u))}{-((a-16) (-u-9 i))-a (-u+9 i)}\right\} \\
\\
\{\{a\to 8+15 i,u\to 15\}\}
\]

uk702

我折腾了一个下午没啥收获，贴吧 (tieba.baidu.com/p/8369960008) 的猛人几分钟就给出一个十分精彩的解答。

由于 ∠BEC=∠ABE=∠EBC，
∴ CE=CB
令 ∠EBC=∠BEC=α，则 ∠FCD=90°-2α，
算得 ∠CFE=45°+α，∠CEF=45°+α
∴ CF=CE

再在 DC 上取点 G 使得 DG = FD = 8，
由于 ∠FDG= 2α，∴ ∠FGD=90°-α

△FHE 和 △EGF 中，
FE=FE，∠FHE=90°-α=∠EGF， ∠HFE=∠GEF
∴ △FHE≌△EGF，∴ FH=EG
∴ CG = CH = 9，DG = FD = 8，CD = CG+GD = 17, CF = \( \sqrt{CD^2 - FD^2} \) = 15
∴ BC = CF = 15

luyuanhong

楼上 uk702 转发的解答已收藏。

王守恩

\(\frac{8}{sin(45+B)}=\frac{FE}{sin(2B)},\frac{FE}{cos(B)}=\frac{EH}{\sin(45+B)},\frac{EH}{\cos(2B)}=\frac{9}{\sin(B)}=\frac{BC}{\cos(B)}\)

1. Solve[{8/Sin[\[Pi]/4 + B] == FE/Sin[2 B], FE/Cos[B] == EH/Sin[\[Pi]/4 + B],
   
2. EH/Cos[2 B] == 9/Sin[B] == BC/Cos[B], 1 > B > 0},{B,FE,EH,BC}]//FullSimplify
   
3. {{B->2 ArcTan[1/3(-5+Sqrt[34])],FE->30/Sqrt[17],EH->24Sqrt[2/17],BC->15}}

复制代码

\(又:\frac{8}{DE}=\frac{\sin(45+B)}{\sin(45-B)}, \frac{9}{BC}=\frac{\sin(B)}{\cos(B)},\frac{8}{DE+BC}=\frac{\cos(2B)}{\sin(90)}\)

解题思路：把角度一个一个都标上去！记 ∠B=2B，其他都可以由B来表示。

ccmmjj

我也给一个三角证明题：
\(\tan \alpha +1/\tan 2\alpha=1/\sin 2\alpha \)
这就是这道题的本质。