【答】关于阿波国的数学竞赛题【突发奇想】abcde可否有具体数字呈现？

dodonaomikiki

猫猫大咖的解答
\begin{align*}
a(b-c)&=a-b             \\
b(c-d)&=b-c   \\
c(d-e)&=c-d\\
d(e-a)&=d-e\\
\Longrightarrow     abcd(e-a)&=a-b\\
\end{align*}

\begin{align*}
又b(a+1)&=a(c+1)           \\
c(b+1)&=b(d+1)           \\
d(c+1)&=c(e+1)           \\
e(d+1)&=d(a+1)           \\
\Longrightarrow         e(b+1)&=a(e+1)，
\end{align*}
\(即b=a(e+1)/e-1，或a-b=(e-a)/e\)
\(此代入abcd(e-a)=a-b，得abcd(e-a)=(e-a)/e\)，
\(即abcde=1\)

dodonaomikiki

   尝试了一哈，还挺不容易的！
尝试不出来:Q

dodonaomikiki

这里难道也有什么套路？

dodonaomikiki

通过以下三个拭子\( （1），（2），（3）\)
就得到



\(a=3\)
\(b=3.5\)
\(c=\frac{11}{3}\)
\(d=\frac{1}{77}\)
\(e=2\)
但是代入其他拭子，有行不通！
倍觉莫名其妙

dodonaomikiki

\(a=3\)
\(b=3.5\)
\(c=\frac{11}{3}\)
\(d=\frac{1}{77}\)
\(e=2\)
代入拭子： \( c(b+1)=b(d+1)\)   就不成立！

dodonaomikiki

所以，这个阿波国竞赛题还蛮好！



里面应该，还有一些约束条件，限制条件
值得一探！值得探索

dodonaomikiki

应该是隐含着一些约束条件！在这些等式背后
值得继续探索

dodonaomikiki

To  be  lazy
\(Set:   e=1\)【也可能就是失败的假设，最后结果看看是否失败 】


\begin{align*}
b(a+1)&=a(c+1)\\
c(b+1)&=b(d+1)\\
d(c+1)&=c(1+1)\\
d+1&=da+d\\
\end{align*}





\begin{align*}
\Longrightarrow
b(a+1)&=a(c+1)\\
c(b+1)&=b(d+1)\\
d(c+1)&=2c\\
d+1&=da+d  \\  
\Longrightarrow    d&=1/a\\
\end{align*}




\begin{align*}
\Longrightarrow
b(a+1)&=a(c+1)\\
c(b+1)&=b(d+1)\\
\frac{c+1}{a}&=2c  \\
\Longrightarrow
  a&=\frac{c+1}{2c}\\
\Longrightarrow
b&=\frac{(c+1)^2}{3c+1}\\
\Longrightarrow
c^3+2c^2-2c-1&=0\\
\end{align*}





\(C不能取得1，\)
剩余两个中，任取一个
\begin{align*}
c&=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}\\
\Longrightarrow   b=\frac{3+\sqrt{5}}{-2}&=-\frac{3+\sqrt{5}}{2}\\
\Longrightarrow    a=\frac{  -1 +\sqrt{5}  }{ 2( -3+\sqrt{5}  )     }=\frac{\sqrt{5}+1}{-4}&=-\frac{\sqrt{5}+1}{4}\\
\Longrightarrow       d&=-\sqrt{5}+1\\
\end{align*}

dodonaomikiki

纵观来看，
a,b,c,d,e四个字母，所取得的数字，
木有一个相同！
且在实数范畴之内，
所以，我们认为【可以 】

dodonaomikiki

结论：
随便取也不能随便取，
实际上，
还是有一定约束条件的