\(\text{APB}\large\textbf{的最小与}\text{jzkyllcjl}\textbf{的不达}\)

elim

APB先生的最小正数梦呓与jzkyllcjl的极限不达呻吟之间是啥关系？欢迎讨论.

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APB先生提出了他的最小正数。\(0.\dot{0}1\small=\displaystyle\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{10}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}\). 他的逻辑是：
由归纳法,\(\small\dfrac{1}{10^n}>0\) 对任意正整数成立, 故\(\small\displaystyle\prod_{n=1}^\infty\frac{1}{10}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}=\frac{1}{10^\infty}>0.\)
这里APB暴露了他寥寥无几的数学认知的全部倒错:  首先\(\infty\)不是正整数,
归纳法对它无效: 即 \(\small\dfrac{1}{10^n}>0\;(\forall n\in\mathbb{N}^+)\) 推不出 \(\small\dfrac{1}{n^\infty}>0.\)
因\(\infty\)非某自然数的后继，递归关系\(\small\dfrac{1}{10^{gn+1}}=\dfrac{1}{10^n}\cdot\dfrac{1}{10}\)无法定义\(\small\dfrac{1}{10^\infty}\).
后者只能靠\(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}\)定义, 而不可救药的APB又把这个极限用\(\small\dfrac{1}{10^\infty}\)
定义, 直接酿成定义循环，APB 没给出\(\small\dfrac{1}{10^\infty}\)的意义。除非他知道什么是
\(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n}.\) 但他哪里有这个程度啊？jzkyllcjl 都副教授了，也不懂极限.
从阿基米德到柯西威尔斯托拉斯这几千年, 人们基于极限观念发明了微
积分等一系列数学利器. 但极限这个观念直到柯西, 维而斯托拉斯, 一直
停留在直觉, 感性非逻辑层次, 产生了许多悖论, 对极限的混乱认识是第
一，第二次数学危机的主要原因。

elim

设 APB 的最小正数是 \(\alpha\), 那么由 \({\large\frac{\alpha}{2}}=\alpha(1-\frac{1}{2}) > 0\) 得 \(\alpha>{\large\frac{\alpha}{2}}>0\)
知道 \(\alpha\) 不是最小正数. 所以最小正数是后生APB 的梦呓而已。实数理论告
诉人们正数没有最小，只有更小.