您了解数论吗？这 10 个典型数论问题您能解答几个？

luyuanhong

您了解数论吗？这 10 个典型数论问题您能解答几个？

来源：科学出版社数学教育 ，作者：中兴小编

问题

什么是数论？您了解数论吗？

下面，我们通过具体的例子来初步了解一下数论的魅力.



这十个题目您会解几个？？

一边思考，一边让我们带着这些问题开始初等数论之旅吧！

我们知道，数论是一门古老的学科, 它的主要研究对象是如下的整数：

…… ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …… 。

非负整数（即自然数）可以认为是人类最早认识的数, 早期在世界各地, 自然数的表现形式有很大的差别, 现在普遍用阿拉伯数字 0, 1, 2, …… 表示, 这为后来的数学及科学的发展提供了极大的便利.

人们对数论的兴趣主要来自于两个方面：

第一, 实际生活及其他领域的需要, 如信息安全方面就用到不少数论知识;

第二, 人们对整数本身的兴趣, 极大地推动了这个学科的发展.

数论为本科阶段的后续课程——近世代数提供了具体的例子, 有助于对抽象概念的学习与理解.

数学的许多其他领域也经常用到数论的知识, 特别是素数的有关知识. 数论对数学思维的培养与训练有特殊的作用, 是其他学科很难替代的.

如上所述，数论十分重要，而初等数论是大学里数学专业（尤其是师范类数学专业）的一门重要的基础课. 南京师范大学陈永高教授在多年数论教学和奥林匹克数学竞赛指导工作中，总结了丰富的教学经验，写成《初等数论》一书，这本书写作特色和使用建议如下：

（1）本书作者长期从事数论的研究与教学, 在数论的研究方面有丰富的经验.一方面, 有长期在普通高等学校从事本科与研究生的教学经历, 对一般学生的认知能力有较好的了解. 另一方面, 曾担任过中国数学奥林匹克委员会的副主席, 多次担任国际数学奥林匹克中国队的领队, 接触过不少非常优秀的中学生. 有了这两方面的经历, 本教材试图兼顾各层次学生的学习.

（2）本书在逻辑与思维上, 尽量由浅入深, 适合各种层次的读者学习. 我们重点学习通识方法与技巧, 注重思想方法的学习, 淡化特殊技巧.

（3）基础知识尽早让学生掌握, 第1 章就将整除与同余的有关知识以循序渐进的方式展现给读者, 介绍带余除法定理、裴蜀定理、算术基本定理、p 进制表示、欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理及威尔逊定理等在数论中无比重要的定理与概念. 第2 章介绍二次剩余与原根. 作为二次剩余的应用, 相对于其他教材,我们较早地介绍了两平方和定理与拉格朗日四平方和定理, 让学生感受到由初等方法得到的深刻结论, 也感受到数论的美妙. 原根是数论中比较重要的基本概念,不少教材将原根放在比较靠后的位置, 不少学校经常讲不到原根或只涉及一点点,我们做了调整, 更便于教学. 我们还介绍了阶的概念与性质、升幂定理, 阶的性质在数论中特别有用. 这两章是数论的基础, 希望所有学生都能很好地掌握.

（4）第 3 章介绍不定方程. 在处理二元一次不定方程时, 我们既介绍了传统的用辗转相除法给出特解的方法, 又介绍了借助一次同余式给出特解的方法. 后一方法在其他教材中没有见过. 这一章我们还介绍了佩尔方程的有关知识, 一般教材放在连分数之后, 实际教学中很难教到, 处理上也依赖连分数, 学习上增加了不少难度. 我们做了调整, 不需要连分数的知识. 实际本科教学中, 很有可能能教完这一部分, 自学也可以. 第 4 章介绍素数分布, 包括切比雪夫定理、Bertrand 假设、素数的倒数和及整数素因数的哈代–拉马努金定理等. 第 5 章介绍实数的有理逼近, 包括法里分数、代数数与超越数、刘维尔定理及连分数等. 这些难度有所提升.

（5）在第 6 章中, 我们提供了一些题目, 大部分是前面章节中有一定难度的题,其中带 * 的题不作为一般教学要求, 我们给出了这些题目的详细解答. 同时, 我们给出了一些未解决的问题, 供感兴趣的读者了解与研究. 最后, 我们提供了本书中习题的解答. 强烈建议大家尽可能自己独立解答这些习题, 不要轻易去看解答.

教学建议

本科教学可以只教前两章或前三章. 后几章可选学, 也可留着自学.

研究生教学可根据实际情况, 选教部分或教完前五章. 除第1 章必学外, 其他各章之间基本没有关联, 可以根据需要与兴趣, 单独教与学.

中学生课外阅读可以先学第 1 章、2.6 节、3.1 节、4.1 节及第 6 章部分例题.

学习建议

除学习基础知识外, 勤思考及解适量的题有助于掌握初等数论的基本方法, 对理论有更好的把握.

友情提示

本书中出现的小写字母 a, b, c, m, n 等通常代表整数, 为避免繁琐, 并不是每个地方都有所说明. 我们用 Z 表示所有整数构成的集合. 本书没有介绍自然数的佩亚诺公理系统, 默认了最小数原理, 这更利于初学者学习数论.

（本书选自陈永高教授《初等数论》前言，略有修改）

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内容简介



本书在逻辑与思维上, 尽量由浅入深, 学习通识方法与技巧, 注重思想方法的学习, 淡化特殊技巧. 除此之外, 我们将初等数论的重点知识前移.全书分为六章, 内容包括整除与同余、二次剩余与原根、不定方程、素数分布、实数的有理逼近以及数论题选讲与数论中未解决的问题. 本书在内容编排上不同于一般教材, 前两章是初等数论的核心内容, 用浅显易懂的方式呈现出来, 利于教学. 第 6 章是本书的特色, 一般教材没有这一部分.

本书为数论入门书, 适合各种层次的读者学习, 适合数学专业本科生与研究生的学习, 也适合高中生的课外阅读.

目录



作者简介



本书特点

将初等数论的核心重点知识前移，用浅显易懂的方式呈现；

在教材的写作中，充分考虑学生思维特点，尽量由浅入深；

重点介绍通识方法与通性技巧，注重思想方法的讲授与学习；

提供典型难题详解，给出未解决前沿问题，提升读者兴趣.

编辑推荐

全国优秀教师带您进入初等数论教学课堂；

深入浅出再现课堂氛围培养学生数学思维；

国际数学奥林匹克中国队原领队指点迷津；

提供典型难题详解，带您了解热点前沿问题。

好玩的数学 2023-05-06 08:50 发表于江西

王守恩

第10 个问题。x^2-2y^2=1

1,x=2, 12, 70, 408, 2378, 13860, 80782, 470832, 2744210, 15994428, 93222358, 543339720,
x(n)=LinearRecurrence[{6, -1}, {0, 2}, n]=2ChebyshevU[n,3]

2,y=3, 17, 99, 577, 3363, 19601, 114243, 665857, 3880899, 22619537, 131836323, 768398401,
y(n)=LinearRecurrence[{6, -1}, {1, 3}, n]= ChebyshevT[n, 3]

3, x/y= ?

ysr

王守恩 发表于 2023-5-7 03:15
第10 个问题。x^2-2y^2=1

1,x=2, 12, 70, 408, 2378, 13860, 80782, 470832, 2744210, 15994428, 932223 ...

第10 个问题：方程x^2-2y^2=1的通解公式：

则x=2[(2n^2+2n+1)^(1/2)]^2+(2n+1)^2,y=2[(2n^2+2n+1)^(1/2)](2n+1),其中n>=0,  [  ]为下取整符号。

是否是全部解呢？不知道。

ysr

ysr 发表于 2023-5-7 14:24
第10 个问题：方程x^2-2y^2=1的通解公式：

则x=2[(2n^2+2n+1)^(1/2)]^2+(2n+1)^2,y=2[(2n^2+2n+1)^(1/ ...

这个公式只有部分解是对的，当n<=100000，且b=(2n^2+2n+1)^(1/2)为整数时，得到如下解：
n=3  b=5  x=99  y=70
n=20  b=29  x=3363  y=2378
n=119  b=169  x=114243  y=80782
n=696  b=985  x=3880899  y=2744210
n=4059  b=5741  x=131836323  y=93222358
n=23660  b=33461  x=4478554083  y=3166815962

ysr

n=0  b=1  x=3  y=2
n=1  b=2.23606797749979  x=17  y=12
n=3  b=5  x=99  y=70
n=8  b=12.0415945787923  x=577  y=408
n=20  b=29  x=3363  y=2378
n=49  b=70.0071424927486  x=19601  y=13860
n=119  b=169  x=114243  y=80782
n=288  b=408.001225488356  x=665857  y=470832
n=696  b=985  x=3880899  y=2744210
n=1681  b=2378.00021026071  x=22619537  y=15994428
n=4059  b=5741  x=131836323  y=93222358
n=9800  b=13860.000036075  x=768398401  y=543339720

其中n取连续的整数，该公式可能是包含了全部解，但不是各项都是原方程的解，仅仅少数部分是方程的解，公式需要再继续研究一下。

ysr

当n取连续的非负整数时，我的公式得出的值不都是原方程的解，仅仅少数部分是原方程的解，需要研究一下其他条件把其中的满足原方程的解找出来。

ysr

用陆元鸿教授以前发论坛的方法解一下吧！教授的文章多是图片形式的，好在我以前打印出来个资料，找出来了。该方法给出了普遍公式而且是方程的全部解，只是最小解是靠连分数法找到的，好在前面已经有了最小解，直接套公式:
方程:x^2-2y^2＝1的通解公式就是:
x＝((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)/2，   y＝((3+2√2)^n-(3-2√2)^n)/2√2，  n＝1，2，3，……
回头我用程序验证一下吧！


这应该就是方程的全部解了。

ysr

ysr 发表于 2023-5-8 06:00
用陆元鸿教授以前发论坛的方法解一下吧！教授的文章多是图片形式的，好在我以前打印出来个资料，找出来了。 ...

发一下程序结果：
n=1  x=3  y=2
n=2  x=17  y=12
n=3  x=99  y=70
n=4  x=577  y=408
n=5  x=3363  y=2378
n=6  x=19601  y=13860
n=7  x=114243  y=80782
n=8  x=665857  y=470832
n=9  x=3880899  y=2744210
n=10  x=22619537  y=15994428
n=11  x=131836323  y=93222358
n=12  x=768398401  y=543339720
n=13  x=4478554083  y=3166815962
n=14  x=26102926097  y=18457556052
n=15  x=152139002499  y=107578520350
n=16  x=886731088897  y=627013566048
n=17  x=5168247530883  y=3654502875938
n=18  x=30122754096401  y=21300003689580
n=19  x=175568277047523  y=124145519261542
n=20  x=1.02328690818874E+15  y=723573111879671
n=21  x=5.9641531720849E+15  y=4.21729315201649E+15
n=22  x=3.47616321243206E+16  y=2.45801858002192E+16
n=23  x=2.02605639573839E+17  y=1.43263821649299E+17
n=24  x=1.18087220531871E+18  y=8.35002744095575E+17
n=25  x=6.88262759233844E+18  y=4.86675264292415E+18
n=26  x=4.01148933487119E+19  y=2.83655131134493E+19
n=27  x=2.33806732499933E+20  y=1.65326326037772E+20
n=28  x=1.36272550165089E+21  y=9.63592443113181E+20
n=29  x=7.94254627740538E+21  y=5.61622833264131E+21
n=30  x=4.62925521627814E+22  y=3.27337775527347E+22
n=31  x=2.69812766699283E+23  y=1.90786436983767E+23
n=32  x=1.57258404803292E+24  y=1.11198484434987E+24
n=33  x=9.16569152149822E+24  y=6.48112262911543E+24
n=34  x=5.34215650809564E+25  y=3.77747509303427E+25
n=35  x=3.1136369896424E+26  y=2.20167382952941E+26
n=36  x=1.81476062870448E+27  y=1.2832295467873E+27
n=37  x=1.05772000732627E+28  y=7.47920989777087E+27
n=38  x=6.16484398108715E+28  y=4.35920298398379E+28
n=39  x=3.59313438791966E+29  y=2.54072969141257E+29
n=40  x=2.09423219294093E+30  y=1.4808457850077E+30
n=41  x=1.22060797188536E+31  y=8.63100174090496E+30
n=42  x=7.11422461201806E+31  y=5.0305164660422E+31
n=43  x=4.1464739700223E+32  y=2.93199986221627E+32
n=44  x=2.4167421358932E+33  y=1.70889475266934E+33
n=45  x=1.4085805418357E+34  y=9.96016852979442E+33
n=46  x=8.20980903742486E+34  y=5.80521164260972E+34
n=47  x=4.78502736827134E+35  y=3.38352530026789E+35
n=48  x=2.78891833058856E+36  y=1.97206306373464E+36
n=49  x=1.62550072467042E+37  y=1.1494025852381E+37
n=50  x=9.47411251496367E+37  y=6.69920920505515E+37
n=51  x=5.52191743651116E+38  y=3.90458526450928E+38
n=52  x=3.21840933675706E+39  y=2.27575906665502E+39
n=53  x=1.87582642768912E+40  y=1.32640958734792E+40
n=54  x=1.0933117632459E+41  y=7.730881617422E+40
n=55  x=6.37228793670651E+41  y=4.50588801171841E+41
n=56  x=3.71404158569932E+42  y=2.62622399085682E+42
n=57  x=2.16470207205252E+43  y=1.53067551439691E+43
n=58  x=1.26168082737452E+44  y=8.92143068729578E+43
n=59  x=7.35361475704188E+44  y=5.19979086093778E+44
n=60  x=4.28600077148767E+45  y=3.03066020968971E+45
n=61  x=2.49806431532219E+46  y=1.76639821720445E+46
n=62  x=1.45597858147843E+47  y=1.02953232822577E+47
n=63  x=8.48606505733839E+47  y=6.00055414763418E+47
n=64  x=4.94604117625519E+48  y=3.49737925575793E+48
n=65  x=2.88276405517973E+49  y=2.03842201197842E+49
n=66  x=1.68019802134529E+50  y=1.18807941462947E+50
n=67  x=9.79291172255374E+50  y=6.92463428657898E+50
n=68  x=5.70772723139771E+51  y=4.03597263048444E+51
n=69  x=3.32670722161309E+52  y=2.35233723542488E+52
n=70  x=1.93894706065388E+53  y=1.37104261495008E+53
n=71  x=1.1301011641762E+54  y=7.991021966158E+53
n=72  x=6.58671227899179E+54  y=4.65750891819979E+54
n=73  x=3.83901725097745E+55  y=2.71459513125829E+55
n=74  x=2.23754322779655E+56  y=1.58218198957298E+56
n=75  x=1.30413576416816E+57  y=9.22163242431204E+56
n=76  x=7.60106026222929E+57  y=5.37476125562993E+57
n=77  x=4.43022258092076E+58  y=3.13264042913484E+58
n=78  x=2.58212294593016E+59  y=1.8258366449246E+59
n=79  x=1.50497154174889E+60  y=1.06417558266341E+60
n=80  x=8.77161695590032E+60  y=6.20246983148802E+60
n=81  x=5.1124730193653E+61  y=3.61506434062647E+61
n=82  x=2.97976764206018E+62  y=2.107013906061E+62
n=83  x=1.73673585504245E+63  y=1.22805770023034E+63
n=84  x=1.01224383660487E+64  y=7.15764481077591E+63
n=85  x=5.89978943412498E+64  y=4.17178111644251E+64
n=86  x=3.4386492768145E+65  y=2.43149222175775E+65
n=87  x=2.00419167174745E+66  y=1.41717752189022E+66
n=88  x=1.16812851028032E+67  y=8.25991590916557E+66
n=89  x=6.8083518945072E+67  y=4.81423179331032E+67
n=90  x=3.96819828567629E+68  y=2.80593991689454E+68
n=91  x=2.3128354524607E+69  y=1.63542163220362E+69
n=92  x=1.34801928861966E+70  y=9.53193580153226E+69
n=93  x=7.85683218647188E+70  y=5.55561931769899E+70
n=94  x=4.57929738302116E+71  y=3.23805223260407E+71
n=95  x=2.66901010794798E+72  y=1.88727514638545E+72
n=96  x=1.55561309093857E+73  y=1.09998456550523E+73
n=97  x=9.06677753483665E+73  y=6.41117987839284E+73
n=98  x=5.28450521180813E+74  y=3.73670947048518E+74
n=99  x=3.08003535173651E+75  y=2.17791388350718E+75
n=100  x=1.79517615892383E+76  y=1.26938123539946E+76

数列发散太快，第20项后面就是科学记数法了，所以仅仅算了100项，有趣的是y的值是整数，而x的值需要向上取整数才能得到正确的答案。

代码如下：

Private Sub Command1_Click()
Dim a, b, c

a = Val(Text1)
n = 1
Do While n <= a

x = ((3 + 2 * 2 ^ 0.5) ^ n - (3 - 2 * 2 ^ 0.5) ^ n) / 2
x = Int(x) + 1
y = ((3 + 2 * 2 ^ 0.5) ^ n - (3 - 2 * 2 ^ 0.5) ^ n) / (2 * 2 ^ 0.5)

s = s & "n=" & n & "  x=" & x & "  y=" & y & vbCrLf



n = n + 1
Loop

Text2 = s

End Sub

Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""

End Sub

ysr

更有趣的是x的个位数字依次是：3，7,9,7,3,1,3,7,9,7,3,1，…………，循环对称。
而y的个位数字呢？也有类似的现象。

luyuanhong

方程 x^2-2y^2＝1 的通解公式就是:

x＝[(3+2√2)^n+(3-2√2)^n]/2 ， y＝[(3+2√2)^n-(3-2√2)^n]/2√2 ， n＝1，2，3，…… 。

因为 3+√2 和 3-√2 是方程  λ^2-6λ+1=0 的两根，所以这些通解还满足下列递推关系式：

x(n+1) = 6x(n)-x(n-1) ，y(n+1) = 6y(n)-y(n-1)  ， n＝1，2，3，…… 。

也就是有

n=0 ，x=1 ，y=0  。

n=1 ，x=3 ，y=2 。

n=2  ，x=6×3-1=17 ，y=6×2-0=12  。

n=3  ，x=6×17-3=99 ，y=6×12-2=70  。

n=4  ，x=6×99-17=577 ，y=6×70-12=408  。

n=5  ，x=6×577-99=3363 ，y=6×408-70=2378  。

n=6  ，x=6×3363-577=19601 ，y=6×2378-408=13860  。

n=7  ，x=6×19601-3363=114243 ，y=6×13860-2378=80782  。
…………

这也解释了为什么通解的个位数字为什么会出现有规律的变化，因为

6×3-1=17≡7(mod 10) ，6×2-0=12≡2(mod 10) ，

6×7-3=39≡9(mod 10) ，6×2-2=10≡0(mod 10) ，

6×9-7=47≡7(mod 10) ，6×0-2=-2≡8(mod 10) ，

6×7-9=33≡3(mod 10) ，6×8-0=48≡8(mod 10) ，

6×3-7=11≡1(mod 10) ，6×8-8=40≡0(mod 10) ，

6×1-3=3≡3(mod 10) ，6×0-8=-8≡2(mod 10) ，

6×3-1=17≡7(mod 10) ，6×2-0=12≡2(mod 10) ，

6×7-3=39≡9(mod 10) ，6×2-2=10≡0(mod 10) ，
……