4^a+2^a+1的最大素因子

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 07:07

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-5-7 18:24 编辑

4^a+2^a+1中的最大素因子
当a是大于等于1的正整数时，4^a+2^a+1=2^2a+2^a+1=(2^3a-1)/(2^a-1)；
在不加任何限制条件时，4^a+2^a+1的分解式表是：
a 4^a+2^a+1
1 7
2 3×7
3 73
4 3×7×13
5 7×151
6 3×19×73
7 7^2×337
8 3×7×13×241
9 262657
10 3×7×151×331
11 7×599479
12 3×19×37×73×109
13 7×79×121369
14 3×7^2×337×5419
15 73*631×23311
16 3×7×13×97×241×673
17 7×103×2143×11119
18 3×87211×262657
19 7×32377×1212847
20 3×7×13×61×151×331×1321
21 73×92737×649657
22 3×7×67×20857×599479
23 7×10052678938039<14>
24 3×19×37×73×109×433×38737
25 7×151×100801×10567201
26 3×7×79×121369×22366891
27 2593×71119×97685839
……
分解式中的最后一个因子就是4^a+2^a+1的最大素因子。

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 07:07

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-5-7 12:12 编辑

实际计算表明，当a是偶数时，4^a+2^a+1式中含有一个素因子3，为奇数时不含素因子3；
如果规定(4^a+2^a+1)不含素因子3，只需令a是奇数即可。
当a是3n+1或3n+2时，4^a+2^a+1式中都含有素因子7，a是3n时分子分母中的7被消除，不再含素因子7，式中n=0,1,2,3……；
如果规定(4^a+2^a+1)不含素因子7，只需令a=3n即可。
当a是9n+3或9n+6时，4^a+2^a+1式中都含有素因子73，a是9n时分子分母中的73被消除，不再含素因子73，a=9n+1,2,4,5,7,8时亦不含素因子73。
如果规定(4^a+2^a+1)不含素因子73，只需令a=9n即可。
太阳规定4^a+2^a+1式中的a=3c且不含素因子73，等同于a只能取9及9的整倍数，3a只能取27及27的整倍数。
据此，4^a+2^a+1式中不含素因子7和73，但可含有素因子3，含3与不含3的两两相隔。
如果规定a是9及9的奇数倍，则4^a+2^a+1之中连素因子3也没有了。

当a=9n时，4^a+2^a+1可以是素数，也可以是合数；
当4^a+2^a+1是二合数时，它的大素因子一定大于4^a+2^a+1的平方根；
当4^a+2^a+1是三合数、四合数时，它的大素因子就不一定大于4^a+2^a+1的平方根了。
为使4^a+2^a+1之中的最大素因子y始终大于4^a+2^a+1的平方根，
太阳先生又规定4^a+2^a+1的第2素因子必须大于a^2*m^2，其中m是4^a+2^a+1的最小素因子；
看来还是不行，太阳先生再规定将4^a+2^a+1的平方根缩小到4^a+2^a+1除以mt的平方根，这里的m、t分别是4^a+2^a+1的第一、第二素因子。
4^a+2^a+1除去它的第一、第二素因子后，仍然可能是素数、二合数、三合数、四合数……，
其三合数、四合数、五合数的最大素因子一定大于4^a+2^a+1除以mt的平方根吗？
不一定，不一定，还是不一定！

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 07:14

为此，太阳先生煞费心机，再加一个限定条件——
第二素因子t必须大于a^2*m^2，
的确，加上这个条件后，在已经被完全分解的2^a-1之中没有找到最大素因子小于4^a+2^a+1除以mt的平方根的4^a+2^a+1之类的数字，
但太阳先生能够保证当a继续增大后就不会有小于4^a+2^a+1除以mt的平方根的最大素因子吗？

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 18:52

1楼给出一些最小的4^a+2^a+1型正整数的分解式，其中的最大素因子有的大于其平方根，有的小于其平方根，这完全符合数学规则：
a 4^a+2^a+1 最大素因子平方根大素与平方根
1 7 7 2.645751311 大于
2 21 7 4.582575695 大于
3 73 73 8.544003745 大于
4 273 13 16.52271164 小于
5 1057 151 32.51153641 大于
6 4161 73 64.50581369 大于
7 16513 337 128.5029183 大于
8 65793 241 256.501462 小于
9 262657 262657 512.5007317 大于
10 1049601 331 1024.500366 小于
11 4196353 599479 2048.500183 大于
12 16781313 121369 4096.500092 大于
13 67117057 121369 8192.500046 大于
14 268451841 5419 16384.50002 小于
15 1073774593 23311 32768.50001 小于
16 4295032833 673 65536.50001 小于
17 17180000257 11119 131072.5 小于
18 68719738881 262657 262144.5 大于
19 2.74878E+11 1212847 524288.5 大于
20 1.09951E+12 1321 1048576.5 小于
21 4.39805E+12 649657 2097152.5 小于
22 1.75922E+13 599479 4194304.5 小于
23 7.03688E+13 1.00527E+13 8388608.5 大于
24 2.81475E+14 38737 16777216.5 小于
25 1.1259E+15 10567201 33554432.5 小于
26 4.5036E+15 22366891 67108864.5 小于
27 1.80144E+16 97685839 134217728.5 小于

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 18:57

为使最大素因子都大于相关整数的平方根，太阳先生规定该整数不得含有素因子73——
只限定4^a+2^a+1不得含素因子73时最大素因子与平方根关系表：
a 4^a+2^a+1 m因子 t因子 y因子平方根最大素因子y与平方根
9 262657 262657 —— —— 512.5007317 大于
18 68719738881 3 87211 262657 262144.5 大于
27 1.80144E+16 2593 71119 97685839 134217728.5 小于
36 4.72237E+21 3 87211 279073 68719476737 小于
45 1.23794E+27 271 262657 4.99716E+13 3.51844E+13 大于
54 3.24519E+32 3 163 272010961 1.80144E+16 小于
63 8.50706E+37 262657 1560007 2.07617E+26 9.22337E+18 大于
72 2.23007E+43 3 87211 1.38992E+14 4.72237E+21 小于
81 5.84601E+48 487 1.67538E+13 3.71299E+18 2.41785E+24 小于
90 1.5325E+54 3 271 3.85839E+14 1.23794E+27 小于
99 4.01735E+59 262657 8950393 1.70887E+47 6.33825E+29 大于
108 1.05312E+65 3 163 4977454861 3.24519E+32 小于
117 2.7607E+70 262657 446473 1.50832E+20 1.66153E+35 小于
126 7.23701E+75 3 379 2.07617E+26 8.50706E+37 小于
135 1.89714E+81 2593 71119 1.76457E+43 4.35561E+40 大于
144 4.97323E+86 3 87211 2.49291E+25 2.23007E+43 小于
153 1.3037E+92 262657 4.07771E+17 4.98484E+49 1.1418E+46 大于
162 3.41758E+97 3 487 9.18125E+20 5.84601E+48 小于
171 8.959E+102 262657 524287 6164134759...47<56> 2.99316E+51 大于
180 2.3485E+108 3 271 1.66243E+17 1.5325E+54 小于
189 6.1566E+113 2593 71119 3417579232...89<98> 7.84638E+56 大于
198 1.6139E+119 3 23761 1.70887E+47 4.01735E+59 小于
207 4.2308E+124 262657 634569679 2751471927...49<97> 2.05688E+62 大于
216 1.1091E+130 3 163 1174029487714513<16> 1.05312E+65 大于
225 2.9074E+135 271 262657 4.7039E+38 5.39199E+67 小于
234 7.6215E+140 3 87211 2.48411E+40 2.7607E+70 小于
243 1.9979E+146 80191 97687 1012137457...61<90> 1.41348E+73 大于
252 5.2374E+151 3 379 3.04833E+32 7.23701E+75 小于
261 1.373E+157 1567 262657 4110057838...87<77> 3.70535E+78 大于
270 3.5991E+162 3 163 1.76457E+43 1.89714E+81 小于
279 9.4349E+167 262657 1.12732E+15 3186418650...63<148> 9.71334E+83 大于
288 2.4733E+173 3 87211 7311824282...09<73> 4.97323E+86 大于
297 6.4836E+178 1783 2593 1623954538...89<132> 2.54629E+89 大于
306 1.6996E+184 3 3673 4.98484E+49 1.3037E+92 小于
315 4.4555E+189 271 262657 8937128331...01<95> 6.67496E+94 大于
324 1.168E+195 3 487 1.75348E+36 3.41758E+97 小于
333 3.0618E+200 7993 262657 5042105883...13<138> 1.7498E+100 大于
最大素因子即可大于平方根，亦可小于平方根。

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 18:59

限定4^a+2^a+1不得含素因子3,7,73时最大素因子与平方根关系表：
a 4^a+2^a+1 m因子 t因子 y因子平方根最大素因子y与平方根
9 262657 262657 —— —— 512.5007317 大于
27 1.80144E+16 2593 71119 97685839 134217728.5 大于
45 1.23794E+27 271 262657 4.99716E+13 3.51844E+13 大于
63 8.50706E+37 262657 1560007 2.07617E+26 9.22337E+18 大于
81 5.84601E+48 487 1.67538E+13 3.71299E+18 2.41785E+24 小于
99 4.01735E+59 262657 8950393 1.70887E+47 6.33825E+29 大于
117 2.7607E+70 262657 446473 1.50832E+20 1.66153E+35 小于
135 1.89714E+81 2593 71119 1.76457E+43 4.35561E+40 大于
153 1.3037E+92 262657 4.07771E+17 4.98484E+49 1.1418E+46 大于
171 8.959E+102 262657 524287 6164134759...47<56> 2.99316E+51 大于
189 6.1566E+113 2593 71119 3417579232...89<98> 7.84638E+56 大于
207 4.2308E+124 262657 634569679 2751471927...49<97> 2.05688E+62 大于
225 2.9074E+135 271 262657 4.7039E+38 5.39199E+67 小于
243 1.9979E+146 80191 97687 1012137457...61<90> 1.41348E+73 大于
261 1.373E+157 1567 262657 4110057838...87<77> 3.70535E+78 大于
279 9.4349E+167 262657 1.12732E+15 3186418650...63<148> 9.71334E+83 大于
297 6.4836E+178 1783 2593 1623954538...89<132> 2.54629E+89 大于
315 4.4555E+189 271 262657 8937128331...01<95> 6.67496E+94 大于
333 3.0618E+200 7993 262657 5042105883...13<138> 1.7498E+100 大于
最大素因子即可大于平方根，亦可小于平方根。

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 19:11

本帖最后由 yangchuanju 于 2023-5-7 19:12 编辑

不行呀，不行！
第二素因子t必须大于a^2*m^2——

限定4^a+2^a+1不得含素因子3,7,73并且t>a^2*m^2时只剩a=81,153符合要求：
a 4^a+2^a+1 m因子 t因子 y因子 a^2*m^2 t因子与a^2*m^2
9 262657 262657 —— —— 5.58808E+12 ——
27 1.80144E+16 2593 71119 97685839 4901540121 小于
45 1.23794E+27 271 262657 4.99716E+13 148718025 小于
63 8.50706E+37 262657 1560007 2.07617E+26 2.73816E+14 小于
81 5.84601E+48 487 1.67538E+13 3.71299E+18 1556065809 大于
99 4.01735E+59 262657 8950393 1.70887E+47 6.76158E+14 小于
117 2.7607E+70 262657 446473 1.50832E+20 9.44386E+14 小于
135 1.89714E+81 2593 71119 1.76457E+43 1.22539E+11 小于
153 1.3037E+92 262657 4.07771E+17 4.98484E+49 1.61496E+15 大于
171 8.959E+102 262657 524287 6164134759...47<56> 2.0173E+15 小于
189 6.1566E+113 2593 71119 3417579232...89<98> 2.40175E+11 小于
207 4.2308E+124 262657 634569679 2751471927...49<97> 2.9561E+15 小于
225 2.9074E+135 271 262657 4.7039E+38 3717950625 小于
243 1.9979E+146 80191 97687 1012137457...61<90> 3.7972E+14 小于
261 1.373E+157 1567 262657 4110057838...87<77> 1.6727E+11 小于
279 9.4349E+167 262657 1.12732E+15 3186418650...63<148> 5.37015E+15 小于
297 6.4836E+178 1783 2593 1623954538...89<132> 2.80424E+11 小于
315 4.4555E+189 271 262657 8937128331...01<95> 7287183225 小于
333 3.0618E+200 7993 262657 5042105883...13<138> 7.08448E+12 小于

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 19:52

不行，不行，还是不行！
a=81，虽然它的t因子大于81^2*487^2，但它的最大素因子小于4^81+2^81+1的平方根；
4^81+2^81+1之中含有4个素因子，把它的两个小素因子去掉下剩一个二合数，二合数的最大素因子一定大于其平方根呀！
只因为如此，太阳先生规定将4^a+2^a=1中的第一、第二素因子去掉，
只考虑(4^a+2^a+1)/mt的最大素因子与(4^a+2^a+1)/mt平方根的关系，
由此一改，4^81+2^81+1成为太阳先生的标准模特（例1），并在《哥猜等难题与猜想》论坛上大势兜售。

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 19:54

完整版的太阳命题：
已知:奇数a＞0，c＞0，a＝3c，k＞0，(4^a+2^a+1)/73≠k＞t＞a^*2m^2
(4^a+2^a+1)的最小质因数是m，(4^a+2^a+1)/m的最小质因数是t
(4^a+2^a+1)/mt的最大质因数是y
求证:y＞√[(4^a+2^a+1)/mt]

yangchuanju · 发表于 2023-5-7 19:56

太阳先生命题之例：
例1：a＝81，(4^81+2^81+1)/73≠k
(4^81+2^81+1)的最小质因数是487
(4^81+2^81+1)/487的最小质因数是16753783618801
(4^81+2^81+1)/(487×16753783618801)的最大质因数是3712990163251158343＞√[(4^81+2^81+1)/(487×3712990163251158343)]

4^81+2^81+1=(2^243-1)/(2^81-1)=487×16753783618801<14>×192971705688577<15>×3712990163251158343<19>
不含素因子73，
14位的第2素因子t大于指数a=81乘以第1素因子m=487的积的平方1556065809，
19位的最大素因子小于25位的4^81+2^81+1的平方根2.41785163922926E+24；
若不计第1第2素因子，则
19位的最大素因子大于17位的192971705688577<15>×3712990163251158343<19>的平方根2.6767555828044E+16；

改错：太阳例题中的最后一步
3712990163251158343＞√[(4^81+2^81+1)/(487×3712990163251158343)]应改为
3712990163251158343＞√[(4^81+2^81+1)/(487×16753783618801)]

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