在平行四边形 ABCD 内部求两个点 E,F，使得 EA+EB+EF+FC+FD 取到最小值

uk702

如图，E、F 是平行四边形 ABCD 内部的两个点，求  EA+EB+EF+FC+FD 的最小值。

uk702

合理地拍个脑袋，EA+EB+EF+FC+FD 的最小值 在当 E、F  关于平行四边形 ABCD 的中心 O 中心对称时达到，于是问题就简化为求 △OCD 的费尔玛点问题。

不知如何证明（或者否定）。

luyuanhong

设 O 是平行四边形 ABCD 的中心。

如果 ΔABO 内部有费尔马点，则取这个费尔马点为 E，取 ΔCDO 内部的费尔马点为 F 。

uk702

分别以 AB、DC 为边向外作正三角形△ABB' 和正三角形△ DCC'，只要选取 E、F，使得 E、F 是 B'C' 位于平行四边形内的部分线段任意两点（假设 B'C' 与平行四边形ABCD 的 AB、CD 边各有一个交点），都有 EA+EB+EF+FC+FD 取最小值   B'C' ？

天山草

\(E、F\) 点在 \(B'C'\) 直线上没有错，但不能随意选点。还是应该如陆教授在 3# 楼说的那样，取费马点才行。
以\(BO\)为边向下作正三角形\(BOG\)，过\(BOG\)三点作圆，连接\(AG\)交圆于\(E\)点，则\(E\)点即是三角形\(ABO\)的费马点。可以证明\(E\)点也在\(B'C'\) 直线上。
同样可作出三角形\(CDO\)的费马点\(F\)。此时，主帖中所说的五条线段的长度之和的最小值即是 \(B'C'\) 。这时满足条件\(EA+EB=EB'\)，如果\(E\)点取在其它位置，例如取在\(M\)点，显然不满足\(MA+MB=MB'\)这个条件，而是\(MA+MB>MB'\)。