数学中国

用户名  找回密码
 注册
帖子
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 2592|回复: 0

推理与证明之不同

[复制链接]
发表于 2023-5-13 18:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
推理与证明之不同

作者:程京德 | 发表时间:2023-5-8 07:18 | 个人分类:数理逻辑 | 系统分类:科普集锦

“推理(reasoning)”与“证明(proving)”是两个经常出现在逻辑学、数学、诸科学的著述及学术文献中的词汇/概念,它们偶尔也会出现在工程实践的著述及技术文献当中。在科学研究或者工程实践中,还有一些词汇/概念是与“推理”和“证明”相关联的,它们是:与“推理”相关的“发现”及“预测”,与“证明”相关的“验证”。

遗憾的是,“推理”和“证明”这两个在本质上意义有所不同的词汇/概念被混淆使用的事例比比皆是,甚至在教科书中也会被混淆。本文意在澄清这两个词汇/概念(实际上撰写本文的动机是为介绍相关逻辑做一点准备)。

“推理”是从给定的前提得出新结论的过程,这些前提是已知的事实或预先假定的假设,它们为结论提供某些证据。通常,“推理”由具有一定顺序的多个论证(argument)(推论(inference))组成,亦即,“推理”是一个有序的过程。

我们来看一个推理的实例:

(1)若一个数是有理数,则它一定可以被表达为一对整数之比。

(2)π 不能被表达为一对整数之比。

    所以

    (3)π 不是一个有理数。

    (4)π 是一个数。

       所以

        (5)至少存在一个非有理数(无理数)。

这里,我们用一步论证先从前提(1)和(2)推出(3)作为结论,又用一步论证从前提(3)和(4)推出(5)作为结论,这样的两步论证构成一个完整的推理,从前提(1),(2)和(4)推出新的结论(5)。

推理是从我们知道的或假设的事物(前提)到我们以前不知道的事物(新结论)的过程。推理本质上是扩展的,即它具有扩展某些事物的功能,增加我们已知或假设的内容。

推理的前提应该为推理的结论提供一些相关的证据。但是,尽管推理的前提旨在为推理的结论提供相关的证据,但它们实际上未必真的做到了这样。所以,我们把真正提供了相关证据的推理认定为是对的/正确的推理,而把没有真正提供了相关证据的推理认定为是错误的/不正确的推理。那么,谁为这种正确性提供判别标准呢?是逻辑学!

另一方面,推理的结论针对其前提应该是新的结论。我们把真正获得了新结论的推理认定为是有效的推理,而把没有真正获得了新结论的推理认定为是无效的推理。那么,谁为这种有效性提供判别标准呢?还是逻辑学!但是,到目前为止,如何形式地且令人满意地定义“新”这一概念仍然是一个棘手的哲学问题。

“证明”是从给定的前提为一个明确指定的陈述寻找理由的过程,这些前提是已知的事实或预先假定的假设,它们为该明确指定的陈述提供某些证据。通常,“证明”由具有一定顺序的多个论证组成,亦即,“证明”是一个有序的过程。将此有序过程描述出来,就构成一个证明描述。

我们来看一个证明的实例,证明:π 是一个无理数

(1)若一个数是有理数,则它一定可以被表达为一对整数之比。

(2)π 不能被表达为一对整数之比。

   所以

    (3)π 不是一个有理数。

    (4)凡不是有理数的数都是无理数。

        所以

        (5)π 是一个无理数。

这里,我们用一步论证先从前提(1)和(2)推出(3)作为结论,又用一步论证从前提(3)和(4)推出需要证明的(5)作为结论,这样的两步论证构成一个完整的证明,从前提(1),(2)和(4)证明了结论(5)。

推理和证明之间最本质的区别在于,前者本质上是规范性/规定性和预测性的,而后者本质上是描述性和非预测性的。推理的目的是找到一些以前未知或未被识别的新陈述,而证明的目的是为一些以前已知或假设的某些陈述找到理由。证明有一个明确指定的陈述作为其目标,而推理则没有。

典型的推理模式为:从 A,B,C,…,我们能说些什么?在推理结束之前,我们并不知道从这些前提到底能够得出什么结论。

典型的证明模式为:从 A,B,C,…,我们能说 D 吗?在证明结束之前,我们确切地知道我们必须从前提出发证明什么陈述是对的。
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

LaTEX预览输入 教程 符号库 加行内标签 加行间标签 
对应的 LaTEX 效果:

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-16 02:22 , Processed in 0.090011 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\square_{\baguet}^{\baguet}\overarc{\square}\ \dot{\baguet}\left(\square\right)\binom{\square}{\square}\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\ \begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\to\Rightarrow\mapsto\alpha\ \theta\ \pi\times\div\pm\because\angle\ \infty
\frac{\square}{\square}\sqrt{\square}\sqrt[\baguet]{\square}\square_{\baguet}\square^{\baguet}\square_{\baguet}^{\baguet}\sum_{\baguet}^{\baguet}\prod_{\baguet}^{\baguet}\coprod_{\baguet}^{\baguet}\int_{\baguet}^{\baguet}\lim_{\baguet}\lim_{\baguet}^{\baguet}\bigcup_{\baguet}^{\baguet}\bigcap_{\baguet}^{\baguet}\bigwedge_{\baguet}^{\baguet}\bigvee_{\baguet}^{\baguet}
\underline{\square}\overline{\square}\overrightarrow{\square}\overleftarrow{\square}\overleftrightarrow{\square}\underrightarrow{\square}\underleftarrow{\square}\underleftrightarrow{\square}\dot{\baguet}\hat{\baguet}\vec{\baguet}\tilde{\baguet}
\left(\square\right)\left[\square\right]\left\{\square\right\}\left|\square\right|\left\langle\square\right\rangle\left\lVert\square\right\rVert\left\lfloor\square\right\rfloor\left\lceil\square\right\rceil\binom{\square}{\square}\boxed{\square}
\begin{cases}\square\\\square\end{cases}\begin{matrix}\square&\square\\\square&\square\end{matrix}\begin{pmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{pmatrix}\begin{bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Bmatrix}\begin{vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{vmatrix}\begin{Vmatrix}\square&\square\\\square&\square\end{Vmatrix}\begin{array}{l|l}\square&\square\\\hline\square&\square\end{array}
\to\gets\leftrightarrow\nearrow\searrow\downarrow\uparrow\updownarrow\swarrow\nwarrow\Leftarrow\Rightarrow\Leftrightarrow\rightharpoonup\rightharpoondown\impliedby\implies\Longleftrightarrow\leftharpoonup\leftharpoondown\longleftarrow\longrightarrow\longleftrightarrow\Uparrow\Downarrow\Updownarrow\hookleftarrow\hookrightarrow\mapsto
\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

MathQuill输入:

Latex代码输入: