正方形ABCD中，BD弧以C为圆心，E∈AD，BE交BD弧于F，EG⊥AD交 CF于G，证：AE+EG=GC

ccmmjj

证明巧合的线段长度

如图，正方形ABCD中，BD弧是以C为圆心的\(\frac 1 4\)圆。E是AD上一点，BE交BD弧于F，EG垂直于AD交CF于G。

求证：AE+EG=GC

玉树临风

你可以选择一个你提出的问题，我给你详细解答

tmduser

给一个纯几何证明，感觉挺绕的，可能有更简洁的方法，只是雾里看花没看透。

luyuanhong

楼上 tmduser 的解答已收藏。

天山草

此题用复解析方法十分合适。解析法一般不需要作辅助线，按现成套路“搭积木”就能成功。


程序中的复斜率只是简化了直线方程的写法而已。

天山草

此题用中学生能够理解的解析几何方法做，更简单一点。

ccmmjj

用三角法最简单，就是推出一个三角恒等式，再反回去。设∠BEG=α ，正方形边长为1，延长EG到H，然后列式，开始推导。

王守恩

好题！谢谢 ccmmjj ！

\(∠BEG=\alpha,∠CGH=90-\alpha,AE=BH=\sin(\alpha),HE=\cos(\alpha)\)

\(AE+EG=\sin(\alpha)+\big(\cos(\alpha)-\frac{\sin(2\alpha)(\cos(\alpha)-\sin(\alpha))}{\cos(2\alpha)}\big)\)

\(=\frac{\sin(\alpha)\cos(2\alpha)+\cos(\alpha)\cos(2\alpha)-\sin(2\alpha)\cos(\alpha)+\sin(2\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)}\)

\(=\frac{\sin(\alpha-2\alpha)+\cos(\alpha-2\alpha)}{\cos(2\alpha)}=\frac{\cos(\alpha)-\sin(\alpha)}{\cos(2\alpha)}=GC\)

玉树临风

什么叫已经很好了，一葫芦画瓢的事就只允许在学校里面出现，都出来混饭吃了，还玩出题解题那一套是不是有那么一点点的过粪？

ccmmjj

我还有一个证明，是结合二次方程的。如下图

这里可以增加一个问题，为什么 x2=p-q 可以舍去？