H 是 ΔABC 垂心，AM,AD 是中线,似中线，BE,CF 是高，∠MAH=∠ADH，证 EF,AD 互相平分

天山草

在锐角三角形 ABC 中，AB>AC，H 是垂心，AM、AD 是 BC 边上的中线和似中线。BE 垂直于 AC 于 E，CF 垂直于 AB 于 F。

如果 ∠MAH=∠ADH，证明 EF 和 AD 互相平分。

天山草

此题是【纯几何吧】淘来的，先来个网友的纯几何证明。

luyuanhong

楼上 天山草 转发的解答已收藏。

天山草

复平面解析几何法：

天山草

此题用复平面解析法做，多少有些吃力。求解 v 与 u 的关系时，竟有 10 组解答。需要选出符合要求的那个解。
另外，点的表达式非常地复杂，如果显示出来，太难看了。
导致这个结果的原因，可能是因为此题的图形不能尺规作图，不信你试试，你能不能作出一个完全符合题目条件的三角形来？ 我作的图形是足够精确的，但不是用尺规方法作的。

天山草

应 denglongshan 的要求，贴出程序代码如下。如果显示出 A、D、N 各点的坐标，都是又长又丑，不但有二次根式，还有三次根式。我还是头一次见到这么难看的东西。奇怪的是，MMA 由这么复杂的公式竟然在不到 10 秒的时间内算出了正确的结论。

1. Clear["Global`*"];(*构图及设点：B为原点，C为1，AB、AC的复斜率分别为u^2和1/v^2*)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^2 (v^2 - 1))/(u^2 v^2 - 1);
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1);
   
4. h = (u^2 + 1)/(1 - u^2 v^2);  \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = ((u^2 + 1) v^2)/(u^2 v^2 - 1);
   
5. \!\(\*OverscriptBox[\(m\), \(_\)]\) = m = 1/2;
   
6. d = (u^2 (v^2 - 1)^2)/(u^4 v^2 + u^2 (v^4 - 4 v^2 + 1) + v^2); \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d; e = 1/2 - 1/(2 v^2);
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = 1/2 (1 - v^2); f = 1/2 (u^2 + 1); \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = 1/2 (1/u^2 + 1);
   
8. (*以上均为此构图下的已知公式，直接引用而不再推导*)
   
9. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
10. Simplify[k[f, d] == k[a, e]];Simplify@Solve[{k[f, e] == k[f, n], k[a, d] == k[a, n]}, {n, \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
11. n = ((u^2 + 2) v^2 - 1)/(4 v^2); \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = 1/4 (1/u^2 - v^2 + 2);
    
12. Print["FN = EN 是否成立？测试结果为：", Simplify[(f - n) (\!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)) == (e - n) (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\))]]
    
13. W = {v} /. Simplify@Solve[{k[d, h]/k[d, a] == k[a, m]/k[a, h]}, {v}] //Flatten;(*由\[Angle]ADH=\[Angle]MAH列出复斜率关系方程*)
    
14. v = Part[W, 5];(*共有10组解，能满足AB>AC只有第5组和第6组解*)
    
15. a = (u^2 (v^2 - 1))/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1);
    
16. d = ( u^2 (v^2 - 1)^2)/(u^4 v^2 + u^2 (v^4 - 4 v^2 + 1) + v^2); \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d;
    
17. n = ((u^2 + 2) v^2 - 1)/(4 v^2); \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\) = 1/4 (1/u^2 - v^2 + 2);
    
18. Print["AN = DN 是否成立？测试结果为：", Simplify[(a - n) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\)) == (d - n) (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(n\), \(_\)]\))]]

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至于如何由 10 组解中筛选出第 5 组或第 6 组的，就是看 D 点的坐标是否为一个实数，同时 A 点的坐标符合图示位置。

uk702

非常感谢 @天山草 的指导。

creasson

涉及不等式条件的题目，用单位复数表示不是一个好的选择。

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*点的表示*)
   
3. points = {A -> ((s + t) (1 - s t))/(s (1 - I t)^2), B -> 0, C -> 1,
   
4.    M -> 1/2, H -> (I (-I + s)^2 (-1 + t) (1 + t))/(2 s (I + t)^2),
   
5.    D -> \[Lambda],
   
6.    E -> \[Mu]*((s + t) (1 - s t))/(s (1 - I t)^2) + 1 - \[Mu],
   
7.    F -> \[Nu] ((s + t) (1 - s t))/(s (1 - I t)^2),
   
8.    N -> \[Eta]*((s + t) (1 -
   
9.            s t))/(s (1 - I t)^2) + (1 - \[Eta]) \[Lambda]};
   
10. eqs = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]] //
    
11.       Numerator) &@({((M - A) (D - A))/((B - A) (C - A)), (B - E)/(B -
    
12.           H), (C - F)/(C - H), (E - N)/(F - N)} /. points);
    
13. sols = Solve[eqs == 0, {\[Lambda], \[Mu], \[Nu], \[Eta]}] // Factor //
    
14.     Flatten;
    
15. points = Factor[points /. sols];
    
16. Print["点的表示: ", points];
    
17. (*变量条件*)
    
18. cond = {s > 0, t > 0, 1 - s t > 0};
    
19. dist[X_, Y_] :=
    
20.   FullSimplify[ComplexExpand[Abs[(X - Y) /. points]],
    
21.    Assumptions -> cond];
    
22. AppendTo[cond, dist[A, B] > dist[A, C]];
    
23. cond = Reduce[cond];
    
24. Print["变量条件: ", cond];
    
25. (*若\[Angle]ADH=\[Angle]MAH*)
    
26. assum = (Factor[ComplexExpand[Im[#]]] //
    
27.       Numerator) &@((A - D)/(H - D) (M - A)/(H - A) /. points);
    
28. solt = Solve[assum == 0 && cond, t] // Flatten;
    
29. Print["若\[Angle]ADH = \[Angle]MAH, 则t的解为: ", solt];
    
30. (*待证结论:EF与AD互相平分*)
    
31. targets = (Factor[#] //
    
32.       Numerator) &@({(A - N)/(N - D) - 1, (E - N)/(N - F) - 1} /.
    
33.      points);
    
34. Print["待证结论: ", FullSimplify[(targets /. solt)]];

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