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漫谈等差数列与指数积分

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发表于 2023-5-20 21:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
漫谈等差数列与指数积分
如果你是一个读完高中过来的人,你就知到等差数列,和微积分知识,不光知到,就是来上几道这方面的小题,也能把它玩转,在等差数列,求累加和时,即等差数列前n项和公式,等差数列的定义,一个数列,a1=c1,an=an1+d,这里的d是公差,另一种表示形式:an=an1+d,现在我们构造一个销项法求和(如同初中消元法解线性方程组),a1=a0,a2=a1+d,a3=a2+d,......,an=an1+d,(d是公差),移项,a1=a0,a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,.....,an-an1=d,这些式子,左边的相加,右边相加,则得到an=a0+(n-1)d;sn的推导,另sn=a1+a2+a3+.......+an,倒序sn=an+an1+an2+.....+a1,所以,2sn=(a1+an)+a2+an1+a3+an2+.....+an2+a3+an1+a2+(an+a1)
 楼主| 发表于 2023-5-20 22:05 | 显示全部楼层
用an=an1+d代替,一直替换,则最后,可得an=a0+(n-1)d,组合项(即每个小括号单元的之和)都是:2a0+(n-1)d,共n个单元相加,所以,2sn=n(2a0+(n-1)d),↔sn=na0+12n(n1)d
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 楼主| 发表于 2023-5-20 22:10 | 显示全部楼层
通俗易懂,也可借助三角形面积法,小学的时候,我们就知到,梯形面积等于:(上底+下底)*高/2,等差数列正好满足每层伸缩值(均匀递减,或均匀递增),这里的上下底,就是首项,及末项,“高”就是前n项的n值,同样我们可以获得sn的公式。
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 楼主| 发表于 2023-5-20 22:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 白新岭 于 2023-5-20 22:34 编辑

现在我们把,等差数列的求法引深,比如加权项皆有等差数列构成,如下实例:
1*2+2*3+3*4+......+(n-1)*n, (有(n-1)项相加),现在给出一种方法求和,这是二项式累计和,或许你没有深刻理解微积分,如果,你在积分上,有足够的造诣的话,已学到指数的积分,你会在灵光一现之时,把有等差数列的项,从新构成的类似等差数列,或许会想到,积分与等差数列求和有统一的渊源,先分析实例,我们把每一项拆分成两项,使其有统一形式,以便借助销项法,求出sn的公式,1*2=13123012),2*3=13(234123),3*4=13(345234),......,(n-1)n=13((n1)n(n+1)n2n1n),另sn=1*2+2*3+3*4+......+(n-1)*n=13(123012)+13(234123)+13(345234)+......+13((n1)n(n+1)n2n1n)=13(n1)n(n+1)
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 楼主| 发表于 2023-5-20 22:50 | 显示全部楼层
上边公差d=1,其实公差d可以取其他整数,再者,上边只是两项乘积之和,如果是,三项,四项,甚至m项呢?你如何处理,我们看以看,an的积分,对它积分,可以得到:1n+1an+1,这里可以看到,积分后,阶增加了1,即比原函数,多了一维空间,同时“积分”也是其体积有了系数,在线上的点积分仍就是点(点无大小),但是线的积分,可以成面,就像小学学的面积公式,体积公式那样,它们会出现阶乘,或1m+1的系数。
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 楼主| 发表于 2023-5-20 22:57 | 显示全部楼层
当n是负值时,你就有可能知到了下了类似等差数列的求和公式了:
sn=112+123+134+....+1(n1)n
根据,指数积分你能想到什么?
这时,负数加1,会使绝对值变小,两项变成了一项,三项变成二项,即指数绝对值相应变小,这在大熔炉中,原则是一致的。
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 楼主| 发表于 2023-5-20 23:01 | 显示全部楼层
没有人感兴趣,所谓,融会贯通,并不是表面文字那样容易,你想把数学各个分支,统一关联起来,很难,为什么,难?因为,还没有把握住内部联系的纽带。
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