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设 a,b 是正整数,求证:2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多只有一个完全平方数

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发表于 2023-5-22 13:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
若\(a,b\)是正整数,求证:\(2a^2+2ab+b^2\)与\(a^2+2ab+2b^2\)至多一个完全平方数。
或者举出反例,否定它。我想了许久,没想到方法。
发表于 2023-5-22 15:04 | 显示全部楼层
(a+b)^2+a^2     和(a+b)^2+b^2,据勾股数公式就可以得到很多吧?
比如前者a=3,b=1就可以得到5*5=25,后者a=1,b=3也可以得到5*5=25,
前者a=6,b=2就可以得到10*10=100,后者a=2,b=6也可以得到10*10=100,
等等。
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发表于 2023-5-22 15:06 | 显示全部楼层
你可能没有理解到他问啥

比如前者a=3,b=1  (a+b)^2+a^2 =25     和(a+b)^2+b^2=17
25 和 17 是否同时为完全平方数??

点评

ysr
额,是了,原来是这样啊!谢谢!  发表于 2023-5-22 15:28
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发表于 2023-5-22 16:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 ysr 于 2023-5-22 10:35 编辑
ysr 发表于 2023-5-22 07:04
(a+b)^2+a^2     和(a+b)^2+b^2,据勾股数公式就可以得到很多吧?
比如前者a=3,b=1就可以得到5*5=25 ...


额,理解错误了,这俩数并不能同时为完全平方数,可以证明的,证明简述如下:

   证:
    设a>=b,前者=(a+b)^2+a^2,后者=(a+b)^2+b^2=(a+b)^2+a^2-(a^2-b^2)
当且仅当a=b=0时二者是相等的且都是完全平方数,根据题意a,b均为正整数,所以,此时不成立了a和b不能等于0。
其他的时候a=b的情况据勾股数公式知道二者虽然相等但都不是完全平方数。
  当a>b的时候,当a,b没有公因子的时候二者是二次相邻数(我的文章中的专用名词,概念见我发论坛的文章《费马定理的初等证明》),而当a,b有公因子时,提取公因子后a,b剩余的因子又使二者构成2次相邻数,而2次相邻数再同乘以任何一个整数都不会同时是完全平方数了,所以,二者之中最多有一个是完全平方数。

点评

我特意下载了你的《数论探秘》一书,对这一章节,看后有所感触。但仅凭这个概念想要证明这个结论可能还不够,你的二次相邻要使用,应该有个数值范围的估算。若是做不到这一歩,就没有对应的结论。  发表于 2023-5-22 18:33
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发表于 2023-5-22 16:12 | 显示全部楼层
ysr 发表于 2023-5-22 08:04
额,理解错误了,这俩数并不能同时为完全平方数,可以证明的,证明简述如下:

   证:

其他的时候a=b的情况:二者相等,都等于(a+b)^2+a^2=4a^2+a^2=5a^2,a不等于0的时候这是个非平方数。
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发表于 2023-5-22 16:21 | 显示全部楼层
ysr 发表于 2023-5-22 08:04
额,理解错误了,这俩数并不能同时为完全平方数,可以证明的,证明简述如下:

   证:

2次相邻数举例:(概念见我的文章,举个例子便于理解)

例如:2,3,4就是一组2次相邻数
5,6,7,8,9是一组2次相邻数,
…………
17,18,19,20,……,25是一组2次相邻数。
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发表于 2023-5-22 16:26 | 显示全部楼层
ysr 发表于 2023-5-22 08:21
2次相邻数举例:(概念见我的文章,举个例子便于理解)

例如:2,3,4就是一组2次相邻数

1,2,3也是同一组2次相邻数,
4,5,6,7,8也是同一组2次相邻数,
…………,
25,26,27,……,35是同一组2次相邻数。
这和前楼的情况一样都叫2次相邻数,是同一个概念的俩不同的分类方法。(概念参考我的文章)
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发表于 2023-5-22 18:30 | 显示全部楼层
ysr 发表于 2023-5-22 08:04
额,理解错误了,这俩数并不能同时为完全平方数,可以证明的,证明简述如下:

   证:

设a>=b,前者=(a+b)^2+a^2,后者=(a+b)^2+b^2=(a+b)^2+a^2-(a^2-b^2)
当a,b没有公因子的时候二者是2次相邻数,
要证明此时二者是2次相邻数需要用到二重数学归纳法,比较繁琐,我省略了(而且还要用到整数排列表,平方数和非平方数分开的排列表,我文章中有)。

当二者有公因子时,提取公因子以后剩余的因子又使二者构成了2次相邻数,所以,再乘以任何其他因子二者都不会同时是完全平方数了,则主楼命题是对的,得证。
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发表于 2023-5-22 19:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 ysr 于 2023-5-22 11:47 编辑
ysr 发表于 2023-5-22 10:30
设a>=b,前者=(a+b)^2+a^2,后者=(a+b)^2+b^2=(a+b)^2+a^2-(a^2-b^2)
当a,b没有公因子的时候二 ...


程序验证了一下,a和b没有公因子,也不一定是2次相邻数,设m=前者=(a+b)^2+a^2,n=后者=(a+b)^2+b^2=(a+b)^2+a^2-(a^2-b^2),验证结果如下:
a=11  m=265  n=145  √m=16  √n=12
a=11  m=290  n=173  √m=17  √n=13
a=11  m=317  n=205  √m=17  √n=14
a=11  m=346  n=241  √m=18  √n=15
a=11  m=377  n=281  √m=19  √n=16
a=11  m=410  n=325  √m=20  √n=18
a=11  m=445  n=373  √m=21  √n=19
a=11  m=482  n=425  √m=21  √n=20
a=11  m=521  n=481  √m=22  √n=21
a=11  m=562  n=541  √m=23  √n=23

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发表于 2023-5-22 19:49 | 显示全部楼层
a=11,b=1,2,3,……,10,时,只有如下3组m,n是相邻数:
a=11  m=482  n=425  √m=21  √n=20
a=11  m=521  n=481  √m=22  √n=21
a=11  m=562  n=541  √m=23  √n=23
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