【资料】两个椭圆结合之后，她们的表现【出处：南京师范大学附属中学】

dodonaomikiki

请看题目

dodonaomikiki

作了一些步骤，
作不下去啦！


也不晓得，高的对不对
小椭圆，大椭圆的函数方程，
分别为：


\begin{align*}
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1\\

\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\\

Set:    P(xo,yo)\\
\Longrightarrow     CD:   xox+yoy=1\\
\Longrightarrow      y=\frac{1- xox     }{ yo  }\\
\Longrightarrow    \frac{x^2}{16}+ \frac{(      1- xox      )^2}{4y_o^2}=1\\
x^2+ \frac{4(      1- xox      )^2}{y_o^2}=16\\
( 4 x_o^2+       y_o^2    )x^2-8xox+4-16y_o^2=0\\
\end{align*}

\begin{align*}
Set:   y=tan\alpha  \bullet    x\\
tan\alpha  \bullet    x-y=0\\
\Longrightarrow       AB=\sqrt{  (3acos\alpha   )^2  +     (3bsin\alpha  )^2        }\\
=\sqrt{  (9a^2  cos^2\alpha   +    9b^2sin^2\alpha         }\\

=3\sqrt{  (a^2  cos^2\alpha   +    b^2sin^2\alpha         }\\
=3\sqrt{  (4  cos^2\alpha   +   sin^2\alpha         }\\
=3\sqrt{  (1+3  cos^2\alpha          }\\
\end{align*}

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然后就是，
求出点C,D到AB之距离
再求面积

\begin{align*}
Area(ACBD)=\\
3\sqrt{  (1+3  cos^2\alpha          }    \bullet(    | \frac{ x1\bullet tan\alpha  -y1 |}{    tan^2\alpha +1  }         +       | \frac{ x2\bullet tan\alpha  -y2 |}{    tan^2\alpha +1  }                           )             \\
=3\sqrt{  (1+3  cos^2\alpha          } \bullet  | \frac{ x1\bullet tan\alpha  -y1 |}{    tan^2\alpha +1  }  +3\sqrt{  (1+3  cos^2\alpha          } \bullet    | \frac{ x2\bullet tan\alpha  -y2 |}{    tan^2\alpha +1  }                           )    、、

\end{align*}

dodonaomikiki

制图来看，
三角形BCD，与小椭圆相切可能需要用到一些椭圆的二级结论什么的

dodonaomikiki

硬算，应该走大不通

dodonaomikiki

另一种思路，
就是计算出来CD长度，
之后在计算四边形ACBD之面积

dodonaomikiki

资料终于寻觅到


计算确实也是比较烦躁



先考虑特殊情形，
针对三角形ACD,ABD，
计算其面积，还比较简单
\begin{align*}
Area（ACD）+Area（ABD）\\
&=\frac{  8\bullet   \sqrt{3} +8\bullet   \sqrt{3 }   }   {2}\\
&=8\bullet   \sqrt{3}\\
\end{align*}

dodonaomikiki

针对一般情形，
搞一下计算，
好像也不怎么需要几何图形来参照

\begin{align*}
\ell  :   y-yo&=k(x-xo)\\
Insert    \qquad     it     \qquad     into    \qquad      C1\\
x^2  +4[   k(x-x0)+y0] ^2   -4&=0\\
\Delta&=0\\
\Longrightarrow   k&=-\frac{ xo   }{4yo} 【显然，yo是不可能等于0地在这里】\\
Insert    \qquad     it     \qquad     into    \qquad      \ell\\
x0x+4y0y-4&=0\\
Insert    \qquad     it     \qquad     into    \qquad      C2\\
x^2-2xox+4-16y_o^2&=0\\
\Longrightarrow  CD&=\sqrt{ 1+\frac{xo^2}{ 16y_o^2 }   } \bullet    |x1-x2   |      \\
&=\sqrt{ 1+\frac{xo^2}{ 16y_o^2 }   } \bullet    \sqrt{  4x_o^2 -4(4-16y_o^2)  }   \\





And     \qquad   x_o^2 +4y_o^2&=4\\
\Longrightarrow     CD&=\sqrt{  3(   x_o^2 +16  y_o^2      )        }\\
\end{align*}

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\begin{align*}
And     \qquad     A(2xo,  2yo),   B(-2xo,  -2yo)\\

Area（ACD）\\
&=0,5\sqrt{  3(   x_o^2 +16  y_o^2      )        }   \bullet   \frac{  |2x_o^2 +8  y_o^2 -4 |  }{\sqrt{    x_o^2 +16  y_o^2          } }\\
&=0,5\sqrt{  3(   x_o^2 +16  y_o^2      )        }   \bullet   \frac{  4   }{\sqrt{    x_o^2 +16  y_o^2          } }\\
&=2 \sqrt{3 }\\

Area（BCD）
&=0,5\sqrt{  3(   x_o^2 +16  y_o^2      )        }   \bullet   \frac{  | - 2x_o^2 -8  y_o^2 -4 |  }{\sqrt{    x_o^2 +16  y_o^2          } }\\
&=0,5\sqrt{  3(   x_o^2 +16  y_o^2      )        }   \bullet   \frac{  12   }{\sqrt{    x_o^2 +16  y_o^2          } }\\
&=6 \sqrt{3 }\\

\Longrightarrow     Area（ACBD）
&=Area（ACD）+Area（ABD)\\
&=2 \sqrt{3 }+6 \sqrt{3 }\\

&=8 \sqrt{3 }\\
\end{align*}

dodonaomikiki

结合7，9两楼，
ACBD之面积，
确实是一个定值