x,y 为自然数，有 √x +√y=5 , 求证： √x 与 √y 都为正整数

fenggeladi

命题：x,y为自然数，有√x +√y=5, 则 √x与√y都为正整数。

说明：通过计算这个命题是正确的，但是有没有非计算的一般证明方法。或者说如果√x +√y=n时，这个命题一定成立呢？

向各位求教，谢谢大家。

lihp2020

带入验证 x 只能 是0~25 之间    带入 求y  ？

cgl_74

一个证明：

liangchuxu

正整数x,y范围有限。

luyuanhong

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小fisher

√x +√y=n，两边同时乘以√x -√y，得到x-y=n(√x -√y)，即√x -√y=(x-y)/n，两式相加、减得√x =(n^2+x-y)/2n，√y= (n^2-x+y)/2n，由题意知等号右边为有理数，所以√x、√y为有理数，又因为最简分数的平方不可能是整数，而x，y是正整数，所以√x、√y也只能是正整数。

liangchuxu

对于一般自然数n，将证明过程完整写一下。

luyuanhong

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