太阳先生的素数公式2

yangchuanju

太阳先生的素数公式
太阳先生多年来一直在潜心研究和寻找大素数，然而他至今尚未找到一个真正有价值的“素数公式”。
找不到素数公式——死不瞑目，于是经过苦思苦想和深思熟虑之后在2023年5月31日连抛3贴：
素数大猜想、素数公式大猜想、素数难题大议论，给出好多所谓的“素数公式”；
6月4日好似认识到这些公式不对，发出一个委婉贴——
素数公式找到，意义不大，找大素难度大；
然而就在随后的3日中又连发7贴，一面沾沾自喜自我陶醉；一面又要求要网友们求证他的那些“素数公式”——
"素数公式、求证:[2^(a-1)/2-1]/b=f、素数新公式，简单易懂、小素数公式:找到小素数、小素数公式的证明、小素数公式:找到了证明、素数公式:找不到一个反例 ；
"

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素数大猜想…1 2        发表于2023-5-31 01:07        13/22        太阳2023-5-31 13:48
素数公式大猜想…1 2        发表于2023-5-31 02:24        10/49        太阳2023-6-5 19:00
素数难题大议论        发表于2023-5-31 16:26        7/13        太阳2023-5-31 18:54
素数公式找到，意义不大…1 2        发表于2023-6-4 03:47        12/37        yangchuanju2023-6-4 20:01
素数公式…1 2        发表于2023-6-4 09:47        14/46        yangchuanju2023-6-4 19:55
求证：[2^(a-1)/2-1]/b=f        发表于2023-6-5 12:53        1/3        太阳2023-6-5 12:58
素数新公式，简单易懂        发表于2023-6-5 22:17        5/5        cz12023-6-5 22:23
素数公式：找到小素数        发表于2023-6-5 22:31        5/8        太阳2023-6-6 04:07
素数公式的证明        发表于2023-6-6 04:16        6/6        太阳2023-6-6 05:23
素数公式：找到了证明        发表于2023-6-6 05:43        6/31        yangchuanju2023-6-7 13:29
素数公式：找不到一个反例        发表于2023-6-6 10:00        5/27        yangchuanju2023-6-8 08:30

yangchuanju

太阳先生的素数公式究竟是什么？
归纳总结一下不过是——
只要某某代数式1能够被某某代数式2整除，某某代数式3就是素数！
（1）、只要2^a±1能够被2a+1整除，2a+1就是素数；
（2）、只要2^(a-1)/2±1能够被a整除，a就是素数；
（3）、只要(2^a-2)能够被a*(2^c±1)整除，a就是素数，其中c=(a-1)/2；
（4）、只要2^a±1能够被a整除，a就是素数；……

对于（2），稍稍变换一下就是（1），（3）经过约分也就变成（1）；
对于（4），不论加还是减都是无解的，根本不存在那样的素数a。
尽管太阳先生总结出多个“素数个数”，最终都归结为（1）中的两个命题（猜想）。

只要2^a+1能够被2a+1整除，2a+1就是素数；成立吗？
2023年6月4日时空伴随者一次就给出5000万内的182个反例，彻底否定了太阳的荒谬理论；
至于“只要2^a-1能够被2a+1整除，2a+1就是素数”，时空伴随者认为加号变减号，反例会更多！

一句话——太阳先生的各个素数公式都是不存在的！

yangchuanju

(2^n-1)/(2n+1)=m中的素数
式中n和m都是正整数
共4种类型：（1）n和2n+1都是素数；（2）n是素数，2n+1是合数；（3）n是合数，2n+1是素数；（4）n和2n+1都是合数。
（1）当n=3,11,23等素数时2n+1=7,23,47都是素数；
（3）当n=8,15,20,35等合数时2n+1=17,31,41,71都是素数；
（4）当n=280,552,864,952,1023等合数时2n+1=：561=3*11*17,1105=5*13*17,1729=7*13*19,1905=3*5*127,2047=23*89等都是合数。
暂未找到（2）的情况，n是素数，2n+1是合数能够整除的例子；
因为当n是素数时，2^n-1都是一些大素数，而合数2n+1都由几个小素数构成，故无法整除。

太阳先生认为只要2^n-1能被2n+1整除，要么2n+1是素数，要么n是素数；
2^n-1能被2n+1整除，2n+1是素数的有两种类型：（1）和（3）；（4）即是2^n-1能被2n+1整除，但2n+1不是素数的反例。
2^n-1能被2n+1整除，n是素数的有两种类型：（1）和（2）；暂未找到（2）的情况，n是素数，2n+1是合数能够整除的例子。

yangchuanju

n=1200以内能够整除，n和2n+1都是素数的有：                       
n        2n+1        位数        分解式
3        7        1        2^3-1=7=7
11        23        4        2^11-1=2047=23×89
23        47        7        2^23-1=8388607=47×178481
83        167        25        2^83-1=
9671406556917033397649407<25>=167×57912614113275649087721<23>
131        263        40        2^131-1=
2722258935367507707706996859454145691647<40>=263×10350794431055162386718619237468234569<38>
179        359        54        2^179-1<54>=
359×1433×1489459109360039866456940197095433721664951999121<49>
191        383        58        2^191-1<58>=
383×7068569257<10>×39940132241<11>×332584516519201<15>×87274497124602996457<20>
239        479        72        2^239-1<72>=
479×1913×5737×176383×134000609×7110008717824458123105014279253754096863768062879<49>
251        503        76        2^251-1<76>=
503×54217×178230287214063289511<21>×61676882198695257501367<23>×12070396178249893039969681<26>
359        719        109        2^359-1<109>=
719×855857×778165529×65877330027880703<17>×370906580744492785430299503112990447<36>×100361196281293745682520861860411315001<39>
419        839        127        2^419-1<127>=
839×903780021613921<15>×5800422716722833271214743<25>×10287968884341772230096159036619433593<38>×29919490848598531825060153417921002916701815927<47>
431        863        130        2^431-1<130>=
863×3449×36238481×76859369×558062249×4642152737<10>×142850312799017452169<21>×1807482391...57<70>
443        887        134        2^443-1<134>=887×207818990653657<15>×1232194392...73<117>
491        983        148        2^491-1<148>=
983×7707719×110097436327057<15>×6976447052525718623<19>×19970905118623195851890562673<29>×3717542676439779473786876643915388439<37>×14797326616665978116353515926860025681383<41>
659        1319        199        2^659-1<199>=
1319×11527429277532648241<20>×626564962613678012662146877852049<33>×2510867382...97<144>
683        1367        206        2^683-1<206>=1367×4348364991...69<78>×6751379697...09<125>
719        1439        217        2^719-1<217>=1439×772207×7375728433...69<51>×3364863383...51<157>
743        1487        224        2^743-1<224>=
1487×1219280833<10>×14904366017<11>×118722715461092305629361<24>×4721525455401597740684262559<28>×4977047949106985392753791512048265888682003683833<49>×6137204207...03<102>
911        1823        275        2^911-1<275>=
1823×26129303×201955048939840841121786425435009<33>×1799520676...07<232>
1019        2039        307        2^1019-1<307>=
2039×75407×8243323067...89<53>×1140356877...41<76>×3886812454...31<171>
1031        2063        311        2^1031-1<311>=
2063×435502649×8588431101...31<74>×2982096305...51<225>
1103        2207        333        2^1103-1<333>=
2207×4126110275598714647074087<25>×1193279152...23<305>

yangchuanju

n=600以内能够整除，n是合数，2n+1是素数的有：                       
n        2n+1        位数        分解式
8        17        3        2^8-1=255=3×5×17
15        31        5        2^15-1=32767=7×31×151
20        41        7        2^20-1=1048575=3×5^2×11×31×41
36        73        11        2^36-1=68719476735<11>=3^3×5×7×13×19×37×73×109
39        79        12        2^39-1=549755813887<12>=7×79×8191×121369
44        89        14        2^44-1=17592186044415<14>=3×5×23×89×397×683×2113
48        97        15        2^48-1=281474976710655<15>=3^2×5×7×13×17×97×241×257×673
51        103        16        2^51-1=2251799813685247<16>=7×103×2143×11119×131071
56        113        17        2^56-1=72057594037927935<17>=3×5×17×29×43×113×127×15790321
63        127        19        2^63-1=9223372036854775807<19>=7^2×73×127×337×92737×649657
68        137        21        2^68-1=295147905179352825855<21>=3×5×137×953×26317×43691×131071
75        151        23        2^75-1=37778931862957161709567<23>=7×31×151×601×1801×100801×10567201
95        191        29        2^95-1=39614081257132168796771975167<29>=31×191×524287×420778751×30327152671<11>
96        193        29        2^96-1=79228162514264337593543950335<29>=3^2×5×7×13×17×97×193×241×257×673×65537×22253377
99        199        30        2^99-1=633825300114114700748351602687<30>=7×23×73×89×199×153649×599479×33057806959<11>
111        223        34        2^111-1=2596148429267413814265248164610047<34>=7×223×321679×26295457×319020217×616318177
116        233        35        2^116-1=83076749736557242056487941267521535<35>=3×5×59×233×1103×2089×3033169×107367629×536903681
119        239        36        2^119-1=664613997892457936451903530140172287<36>=127×239×20231×131071×62983048367<11>×131105292137<12>
120        241        37        2^120-1=1329227995784915872903807060280344575<37>=3^2×5^2×7×11×13×17×31×41×61×151×241×331×1321×61681×4562284561<10>
128        257        39        2^128-1=340282366920938463463374607431768211455<39>=3×5×17×257×641×65537×274177×6700417×67280421310721<14>
135        271        41        2^135-1=43556142965880123323311949751266331066367<41>=7×31×73×151×271×631×23311×262657×348031×49971617830801<14>
140        281        43        2^140-1=1393796574908163946345982392040522594123775<43>=3×5^2×11×29×31×41×43×71×113×127×281×86171×122921×7416361×47392381
155        311        47        2^155-1=45671926166590716193865151022383844364247891967<47>=31^2×311×11471×73471×2147483647<10>×4649919401<10>×18158209813151<14>
156        313        47        2^156-1=91343852333181432387730302044767688728495783935<47>=3^2×5×7×13^2×53×79×157×313×1249×1613×2731×3121×8191×21841×121369×22366891
168        337        51        2^168-1<51>=3^2×5×7^2×13×17×29×43×113×127×241×337×1429×3361×5419×14449×15790321×88959882481<11>
176        353        53        2^176-1<53>=3×5×17×23×89×257×353×397×683×2113×229153×119782433×2931542417<10>×43872038849<11>
183        367        56        2^183-1<56>=7×367×55633×2305843009213693951<19>×37201708625305146303973352041<29>
200        401        61        2^200-1<61>=3×5^3×11×17×31×41×101×251×401×601×1801×4051×8101×61681×268501×340801×2787601×3173389601<10>
204        409        62        2^204-1<62>=3^2×5×7×13×103×137×307×409×953×2143×2857×3061×6529×11119×13669×26317×43691×131071×1326700741<10>
215        431        65        2^215-1<65>=31×431×1721×9719×2099863×731516431×514851898711<12>×297927289744047764444862191<27>
216        433        66        2^216-1<66>=3^4×5×7×13×17×19×37×73×109×241×433×38737×87211×246241×262657×279073×33975937×138991501037953<15>
219        439        66        2^219-1<66>=7×439×3943×2298041×9361973132609<13>×671165898617413417<18>×4815314615204347717321<22>
224        449        68        2^224-1<68>=3×5×17×29×43×113×127×257×449×2689×5153×65537×15790321×183076097×54410972897<11>×358429848460993<15>
228        457        69        2^228-1<69>=3^2×5×7×13×229×457×571×32377×131101×160969×174763×524287×525313×1212847×160465489×275415303169<12>
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564        1129        170        2^564-1<170>=3^2×5×7×13×283×1129×2351×3761×4513×5641×1681003×1768141×13264529×54865357×4375578271<10>×7484047069<10>×35273039401<11>×111349165273<12>×165768537521<12>×180846660913<12>×140737471578113<15>×646675035253258729<18>×270097268484167653999069<24>
575        1151        174        2^575-1<174>=31×47×601×1151×1801×14951×178481×4036961×13220653410551<14>×2646507710984041<16>×1807513613...01<117>
576        1153        174        2^576-1<174>=3^3×5×7×13×17×19×37×73×97×109×193×241×257×433×577×641×673×1153×3457×6337×38737×65537×816769×6700417×22253377×38941695937<11>×278452876033<12>×487824887233<12>×18446744069414584321<20>×1562985901350085709953<22>×1422346738975853644793916289<28>
596        1193        180        2^596-1<180>=3×5×1193×1789×650833×38369587×12961064789<11>×14641916303149<14>×86656268566282183151<20>×8235109336690846723986161<25>×7984559573504259856359124657<28>×27243386602395588437243602121<29>×11011808951971745915313242336927641<35>
600        1201        181        2^600-1<181>=3^2×5^3×7×11×13×17×31×41×61×101×151×241×251×331×401×601×1201×1321×1801×4051×8101×61681×63901×100801×268501×340801×2787601×10567201×13334701×1182468601<10>×3173389601<10>×4562284561<10>×1133836730401<13>×1461503031127477825099979369543473122548042956801<49>

yangchuanju

n=1200以内2^n-1能够被2n+1整除，但2n+1不是素数的反例有：                               
n        2n+1及        分解式        位数        分解式
280        561        3*11*17        85        2^280-1<85>=
3×5^2×11×17×29×31×41×43×71×113×127×281×61681×86171×122921×7416361×15790321×47392381×84179842077657862011867889681<29>
552        1105        5*13*17        167        2^552-1<167>=
3^2×5×7×13×17×47×139×241×277×1013×1657×30269×178481×2796203×168749965921<12>×5415624023749<13>×10052678938039<14>×70334392823809<14>×5770338946481798744593<22>×291280009243618888211558641<27>×17631969887860014158574508770817<32>
864        1729        7*13*19        261        2^864-1<261>=
3^4×5×7×13×17×19×37×73×97×109×193×241×257×433×577×673×1153×6337×38737×65537×87211×246241×262657×279073×22253377×33975937×209924353×4261383649<10>×38941695937<11>×278452876033<12>×487824887233<12>×68016300334849<14>×138991501037953<15>×24929060818265360451708193<26>×7311824282...09<73>
952        1905        3*5*127        287        2^952-1<287>=
3×5×17^2×29×43×113×127×137×239×953×2381×9521×20231×26317×42841×43691×131071×354689×823481×15790321×94994369×823679683×62983048367<11>×131105292137<12>×1580019259393<13>×2879347902817<13>×536296539263941<15>×115846651946400929<18>×143162553165560959297<21>×18292898984156916156396101<26>×2488196881582734135904733409191377<34>×967651113494068011489137268940159136059745761<45>
1023        2047        23*89        308        2^1023-1<308>=
7×23×89×599479×2147483647<10>×105586579766713<15>×658812288653553079<18>×5560125493425335999<19>×126901141805369975317583<24>×91979404475310284038389763276277647<35>×1444211137344578755413561460184550803276100931567<49>×7473499705...01<132>

yangchuanju

时空伴随者6月4日给出的2^n+1能够被2n+1整除，但2n+1不是素数的的182个反例（5000万以内）：

2023-06-04 16:57:53
1638 3277 [29, 113]
14670 29341 [13, 37, 61]
24570 49141 [157, 313]
40290 80581 [61, 1321]
44178 88357 [149, 593]
52326 104653 [229, 457]
98046 196093 [157, 1249]
157410 314821 [13, 61, 397]
229494 458989 [277, 1657]
238485 476971 [11, 131, 331]
244998 489997 [157, 3121]
400302 800605 [5, 13, 109, 113]
419430 838861 [397, 2113]
436590 873181 [661, 1321]
438549 877099 [307, 2857]
502326 1004653 [13, 109, 709]
625974 1251949 [409, 3061]
651225 1302451 [571, 2281]
662921 1325843 [499, 2657]
686826 1373653 [829, 1657]
698709 1397419 [67, 20857]
720545 1441091 [347, 4153]
753981 1507963 [971, 1553]
754854 1509709 [389, 3881]
765393 1530787 [619, 2473]
839270 1678541 [1013, 1657]
905786 1811573 [389, 4657]
953925 1907851 [11, 251, 691]
993510 1987021 [997, 1993]
1002201 2004403 [307, 6529]
1134546 2269093 [953, 2381]
1142226 2284453 [1069, 2137]
1193898 2387797 [773, 3089]
1373238 2746477 [829, 3313]
1454598 2909197 [293, 9929]
1545045 3090091 [1163, 2657]
1558053 3116107 [883, 3529]
1700006 3400013 [1597, 2129]
1714518 3429037 [157, 21841]
1769550 3539101 [941, 3761]
1802714 3605429 [137, 26317]
2180310 4360621 [1321, 3301]
2251242 4502485 [5, 13, 113, 613]
2628045 5256091 [811, 6481]
2795310 5590621 [409, 13669]
2799882 5599765 [5, 37, 30269]
2959593 5919187 [1777, 3331]
3476018 6952037 [2153, 3229]
3653130 7306261 [2341, 3121]
3941865 7883731 [811, 9721]
4528250 9056501 [1229, 7369]
4534614 9069229 [13, 293, 2381]
4685625 9371251 [1531, 6121]
4864650 9729301 [1201, 8101]
4887090 9774181 [181, 54001]
4931730 9863461 [2221, 4441]
5381826 10763653 [409, 26317]
5540729 11081459 [227, 48817]
5667750 11335501 [1321, 8581]
5736942 11473885 [5, 37, 109, 569]
5770653 11541307 [1699, 6793]
5792646 11585293 [2153, 5381]
6131565 12263131 [811, 15121]
6528893 13057787 [467, 27961]
6608070 13216141 [29, 37, 109, 113]
6669185 13338371 [3163, 4217]
6710886 13421773 [53, 157, 1613]
6723126 13446253 [509, 26417]
7550946 15101893 [829, 18217]
7594278 15188557 [1949, 7793]
7623810 15247621 [61, 181, 1381]
7988373 15976747 [3739, 4273]
8035214 16070429 [1637, 9817]
8180190 16360381 [541, 30241]
8352510 16705021 [1669, 10009]
8426538 16853077 [2053, 8209]
8439750 16879501 [1453, 11617]
8558418 17116837 [2069, 8273]
8567021 17134043 [1097, 15619]
8663886 17327773 [2633, 6581]
8754750 17509501 [41, 61, 7001]
9221850 18443701 [3037, 6073]
9370485 18740971 [1531, 12241]
9664326 19328653 [3109, 6217]
9702069 19404139 [2011, 9649]
10130625 20261251 [2251, 9001]
10323810 20647621 [1429, 14449]
10653078 21306157 [3769, 5653]
10811829 21623659 [1163, 18593]
11037789 22075579 [163, 135433]
11043738 22087477 [709, 31153]
11295650 22591301 [3881, 5821]
11334750 22669501 [2381, 9521]
11867450 23734901 [2297, 10333]
11936106 23872213 [1093, 21841]
11981934 23963869 [2617, 9157]
12107025 24214051 [281, 86171]
12540050 25080101 [953, 26317]
13420134 26840269 [109, 246241]
13438710 26877421 [541, 49681]
13554198 27108397 [4657, 5821]
13754826 27509653 [3709, 7417]
13899230 27798461 [3229, 8609]
13983354 27966709 [37, 113, 6689]
14607270 29214541 [541, 54001]
14790750 29581501 [4441, 6661]
14939190 29878381 [13, 29, 41, 1933]
15109878 30219757 [2749, 10993]
15147570 30295141 [1741, 17401]
15209478 30418957 [109, 279073]
15447153 30894307 [971, 31817]
15583401 31166803 [1777, 17539]
15718061 31436123 [1619, 19417]
16813650 33627301 [3217, 10453]
16852050 33704101 [2053, 16417]
17001530 34003061 [2381, 14281]
17925518 35851037 [4889, 7333]
18153990 36307981 [4261, 8521]
18169326 36338653 [13, 29, 113, 853]
18382950 36765901 [37, 613, 1621]
18430950 36861901 [229, 160969]
18554733 37109467 [2833, 13099]
19005153 38010307 [3083, 12329]
19059381 38118763 [5347, 7129]
19105161 38210323 [2473, 15451]
19732545 39465091 [1571, 25121]
20391294 40782589 [1597, 25537]
20802054 41604109 [1613, 25793]
21492294 42984589 [2677, 16057]
22481514 44963029 [37, 397, 3061]
22884822 45769645 [5, 109, 137, 613]
22909770 45819541 [2141, 21401]
23162514 46325029 [5381, 8609]
23674686 47349373 [29, 113, 14449]
23951850 47903701 [3461, 13841]
23959290 47918581 [5233, 9157]
24095826 48191653 [4909, 9817]
24224330 48448661 [5581, 8681]
25077866 50155733 [1657, 30269]
25564890 51129781 [2341, 21841]
26036010 52072021 [1021, 51001]
26102118 52204237 [3613, 14449]
26828010 53656021 [2377, 22573]
27014870 54029741 [1733, 31177]
27659478 55318957 [6073, 9109]
27864978 55729957 [3733, 14929]
28780542 57561085 [5, 29, 37, 10729]
29815605 59631211 [1931, 30881]
29956578 59913157 [457, 131101]
30348330 60696661 [3181, 19081]
30609894 61219789 [1429, 42841]
30688554 61377109 [157, 313, 1249]
32650506 65301013 [1429, 45697]
32679738 65359477 [2557, 25561]
33048126 66096253 [5749, 11497]
34256433 68512867 [4139, 16553]
34515450 69030901 [2221, 31081]
34615530 69231061 [1861, 37201]
35015250 70030501 [41, 61, 28001]
35296965 70593931 [2971, 23761]
35786478 71572957 [29, 113, 21841]
36249126 72498253 [2693, 26921]
36271773 72543547 [4259, 17033]
37205565 74411131 [6521, 11411]
38362545 76725091 [1171, 65521]
38372550 76745101 [1201, 63901]
38766561 77533123 [499, 155377]
38908989 77817979 [3529, 22051]
39699450 79398901 [6301, 12601]
39893261 79786523 [2579, 30937]
40187853 80375707 [4483, 17929]
41435258 82870517 [7433, 11149]
43265310 86530621 [173, 500177]
43499918 86999837 [4817, 18061]
43749825 87499651 [2339, 37409]
43847130 87694261 [1997, 43913]
44184426 88368853 [3433, 25741]
44654385 89308771 [5113, 17467]
45829641 91659283 [67, 683, 2003]
47251350 94502701 [4861, 19441]
47726390 95452781 [3989, 23929]
48309198 96618397 [6217, 15541]
用时 183.46283 秒

yangchuanju

清一色数中存在大量大素数
清一色数即是全由数字1组成的数字，11,111,1111，……
已知清一色数中存在有11个素数：2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207（1的位数）；
其中最小的是11，已知的最大的由8177207个1组成。
猜想：清一色数字之中存在无穷多个素数！

清一色数中除了少量素数外，亦有许多二合数，它们的素因子都是较大的素数：
11111=41×271
1111111=239×4649
11111111111<11>=21649×513239
11111111111111111<17>=2071723×5363222357<10>
11111111111111111111111111111111111111111111111<47>=35121409×316362908763458525001406154038726382279<39>
(10^211-1)/9<211>=6926245573...79<93>×1604204037...09<118>
(10^251-1)/9<251>=52371653×2121588774...87<243>
(10^311-1)/9<311>=4344673058...33<64>×2557410180...67<247>
(10^457-1)/9<457>=5437387×2043465199...53<450>
(10^461-1)/9<461>=792892858054693213<18>×1401338276...47<443>
(10^701-1)/9<701>=674363×1647645424...97<695>
(10^4201-1)/9<4201>=5975132176088831677<19>×1859559049...43<4182>
(10^4597-1)/9<4597>=49517362821841381162768425182671<32>×2243881838...41<4565>
(10^5059-1)/9<5059>=3308587×3358264755...53<5052>
上面的后3行均已被证明都是素数，大素数位数分别为4182,4565,5052位，继续下去其中一定有不少亿位大素数。

yangchuanju

指数是合数的清一色数字的余因子也往往都是一些大素数或大素数的乘积：
R3=111=3*37
R9=111111111=3^2*37*333667，余因子333667
R27=111111111111111111111111111<27>=3^3×37×757×333667×440334654777631<15>，余因子757*440334654777631<15>
R81=(10^81-1)/9<81>=3^4×37×163×757×9397×333667×2462401×440334654777631<15>×676421558270641<15>×130654897808007778425046117<27>，余因子163×9397×2462401×676421558270641<15>×130654897808007778425046117<27>

R5=11111=41*271
R25=1111111111111111111111111<25>=41*271*21401*25601*182521213001<12>，余因子是21401×25601×182521213001<12>
R125=(10^125-1)/9<125>=41×271×751×21401×25601×1797655751<10>×182521213001<12>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>，余因子751×1797655751<10>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>
R625=(10^625-1)/9<625>=41×271×751×21401×25601×1797655751<10>×182521213001<12>×176144543406001<15>×2782057126261476352728985117193142348250001<43>×4205177580...01<74>×3594462495...01<458>
余因子2782057126261476352728985117193142348250001<43>×3594462495...01<458>，其中458位因子是复合因子

R7=1111111=239×4649
R49=1111111111111111111111111111111111111111111111111<49>=239×4649×505885997×1976730144598190963568023014679333<34>，余因子505885997×1976730144598190963568023014679333<34>
R343=(10^343-1)/9<343>=239×4649×505885997×1977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1976730144598190963568023014679333<34>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>，余因子977439591<10>×62612348451548943616787<23>×7754637448036836493958053<25>×1081641825...51<90>×9629235556...51<148>

R10=1111111111<10>=11×41×271×9091
R100=(10^100-1)/9<100>=11×41×101×251×271×3541×5051×9091×21401×25601×27961×60101×7019801×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×1680588011350901<16>
相对于R10的余因子是101×251×3541×5051×21401×25601×27961×60101×7019801×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×1680588011350901<16>，其中包含R20、R25、R50等的余因子。
100含因子2,5,10及4,20,25,50，新出现的素因子101来自R4，3541*27961来自R20，21401*25601*182521213001<12>来自R25，251*5051*78875943472201<14>来自R50，真正的R100的余因子是60101*7019801*14103673319201<14>*1680588011350901<16>

R1000=(10^1000-1)/9<1000>=11×41×73×101×137×251×271×401×751×1201×1601×3541×4001×5051×9091×21001×21401×24001×25601×27961×60101×76001×162251×1378001×1610501×1676321×7019801×1797655751<10>×5964848081<10>×10893295001<11>×182521213001<12>×14103673319201<14>×78875943472201<14>×176144543406001<15>×1680588011350901<16>×1296944190...01<72>×4205177580...01<74>×2694097928...51<81>×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>×3023577677...01<390>
相对于R100的余因子24个是73×137×401×751×1201×1601×4001×21001×24001×76001×162251×1378001×1610501×1676321×1797655751<10>×5964848081<10>×10893295001<11>×176144543406001<15>×1296944190...01<72>×4205177580...01<74>×2694097928...51<81>×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>×3023577677...01<390>
1000含因子2,5,10；4,20,25,50,100及8,40,125,200,250,500，新出现的素因子73×137来自R8，1676321×5964848081<10>来自R40，751×1797655751<10>×176144543406001<15>×4205177580...01<74>来自R125，401×1201×1601×1296944190...01<72>来自R200，21001×162251×10893295001<11>×2694097928...51<81>来自R250，4001×76001×1610501×3288608250...01<92>×6209247929...01<94>来自R500，真正的R1000的余因子是24001×1378001×3023577677...01<390>

R5237已被完全分解，(10^5237-1)/9<5237>=
345643×29747419163333<14>×13137300661025662591024039<26>×8225727009...71<5192>，第4素因子5192位
R5823已被完全分解，(10^5323-1)/9<5323>=
1362689×8293659841<10>×89614919369<11>×1996494074161905281<19>×5494980776...51<5277>，第5素因子5277位