已知边长为 1-x,1,1+x 的一个三角形，三个内角的正弦值都大于 0.8，求 x 的取值范围

mrcombo

請教這個問題，實在沒頭緒，謝謝

lihp2020

x有对称性  如果x=a 满足 x=-a也满足
x=0  三个角都是π/3 正弦值是 \(\frac{\sqrt{3} }{ 2}\) ~=0.866满足
现在 只考虑x>0的部分

【sinT=0.8  我们想到 345 的勾股数 ？
1-1/4 1 1+1/4   构成直角三角形  但是不满足】
小角对小边 大角对大边

最小的角 一定小于等于π/3  其中对应的sin函数 单调递增 cos 单调递减

sinT=0.8 cosT =0.6
余弦定理
cos(Min)=(b&#178;+c&#178;-a&#178;)/(2bc) = ((1+x)^2 +1^2 -(1-x)^2)/(2*(1+x))= (4*x+1)/(2*x+2) <0.6
解的 x<1/14
再求 最大角 sin>0.8  最大角 必然>=π/3 如果<0.8 就是钝角
但是 x<1/14  代入 a^2+b^2>c^2 一定是锐角三角形
当然 也可以求最大叫的余弦来
cos(Max)=((1-x)^2 +1^2 -(1+x)^2)/(2*(1-x))=(4*x-1)/(2*x-2)<-0.6
解的 x<11/26

所以 x<1/14  由于对称性
|x|<1/14

liangchuxu

已知边长为 1-x,1,1+x 的一个三角形，三个内角的正弦值都大于 0.8，求 x 的取值范围

王守恩

已知边长为 1-x,1,1+x 的一个三角形，三个内角的正弦值都大于 0.8，求 x 的取值范围

\(可以有精确值。记三个内角的最小正弦值=\frac{n}{m}\ \ \ \ x=\frac{3m\sqrt{m^2-n^2}-2n^2}{6m^2-2n^2}\)

王守恩

\(特别地,边长为(n-1),n,(n+1)的三角形,能够满足(1-x): 1: (1+x )\)

\(\frac{n-1}{\sin(A)}=\frac{n}{\sin(A+B)}=\frac{n+1}{\sin(B)},n=4,5,6,7,8,9,...\)

\(\sin(A),\sin(A+B),\sin(B)都可以有精确值。譬如:\sin(A+B)=\frac{n\sqrt{3n^2-12}}{2(n-1)(n+1)}\)

liangchuxu

有个建议，对各位解答，提问者最好有个反馈。以体现对别人劳动的尊重。

mrcombo

非常感謝各位的解答!!!