数学中的无穷是一个很矛盾的东西（四）

门外汉

芝诺的二分法天下闻名，他说，一个人不能从A点走到B点，因为中间有无穷多个中点，这是一个不可能完成的过程。
这个结论被誉为是千年谬论，但如果我们用严格的数学推理，却发现其论证过程无懈可击。
在这里，将A与B之间的距离（设为1米）看做是一条长度为1米的线段，我们知道，A与B之间包含有无穷多个点。
将线段二等分，去掉前半部分，则剩余的线段仍然包含无穷多个点。
将剩余的线段再二等分，去掉前半部分，则剩余的线段仍然包含无穷多个点。
将剩余的线段再二等分，去掉前半部分，则剩余的线段仍然包含无穷多个点……
如此无限进行下去，我们会发现，只要是剩余的线段包含无穷多个点，便可将其二等分，而二等分后，剩余的线段仍然包含无穷多个点。
所以，这个二等分的过程会无限持续下去，永无终止。
什么情况下这个过程才会终止呢？那就只有一个可能：线段最终被分割得只剩下两个点，下一步，将其二等分，只剩下一个点，一个点的长度为0，无法再继续二等分，于是所有的步骤全部结束，人最终从A点走到B点。
但将一条线段分割得只剩下两个点这种情况是不存在的，所以二等分的过程不能结束，所以人不能从A点走到B点，于是芝诺二分法得以证明：人不能A点走到B点。

金瑞生

两个毫无关联的事情放在一起有意思吗？如果硬要关联，那么人走的每一步越过的点都是不可数无穷！

春风晚霞

       亚里士多德(Aristotle公元前384～前322)在其《物理学》一书中，引述了巴门尼德（Parmenides of Elea，约公元前515年～前5世纪中叶以后)的学生芝诺 (Zeno of Elea，约前490-前425)为捍卫老师巴门尼德的《存在论》思想提出的二分法问题。芝诺的命题是：物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去。所以，如果它起动了，它永远到不了终点。或者，它根本起动不了。亦说:一个人永远走不出一间屋子。
      如果我们把这个问题翻译成数学问题，那就是：已知数列$\{a_n\}$的通项$a_n=\tfrac{1}{2^n}$，则当n$\to$∞时，$a_n$≠0；或$\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞$$\tfrac{1}{2^n}$≠1.
      根据极限(十七世纪前极限就是“极端、最大限度”之意)的可达性(可以给出严格的证明，本帖不证)，数学上可证芝诺的二分法命题非真.
      下面我们看看历代哲学家是如何解读芝诺二分法命题的。
       1、亚里士多德认为:如果时间和空间一样是可以无限分割的，那么将一段时间无限二分，分出来的每一段时间用于走过对应的路程，就可以在限定时间内实现运动了.
       2、墨子针对惠施的“一尺之棰，日取其半，万世不竭” (与芝诺二分法同源问题)，提出了“非半弗斫，则不动，说在端” 的辩思。从而认定芝诺命题非真。
       3、休谟认为:时间是由不可分割的瞬间组成，广袤(即空间)是由不可分割的粒子组成。二者都不是无限可分的，都有各自的最小单位；所以物体不可能永远一分为二下去，分到最后，总会遇到那个最小单位，也许是原子，也许是夸克，也许比夸克还小，但总归不可能无限分割下去；时间无法无限分割，它的最小单位也许为毫秒。总归不可能无限分割下去，并且强调指出如果有谁对经验不到又无法验证的事物存在信誓旦旦的信念，那这就不可理喻了。亦即认为芝诺二分法命题非真.
       4、康德认为①、宇宙在时间上既是有限的，又是无限的(即二律背反)。②康德认为宇宙是一个本体，对于一个本体而言，我们不能对它有任何的规定，也就是既不能说宇宙是有限的，又不能说宇宙是无限的。康德因此否认芝诺思维矛盾的存在合理性。即认定芝诺二分法命题非真.
       5、黑格尔对芝诺悖论的解释是：“运动的意思是说：在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，──并且这才是使得运动可能的条件。”从而否定芝诺运动无法停止或无法进行的观点。也就是间接说明芝诺二分法命是非真.
       6、恩格斯认为“正因为无限性是矛盾，所以它是无限的在时间上和空间无止境地展开过程。如果矛盾消除了，那么无限性也就终结了。”如当余剩的距离不足鞋长时，“走”的行为也就终止了，所以这时“永远走不出一间屋子”的“永远”这个无限性也就终结了。
       尽管历代哲学家的学术观点各异，但他们对二分法的认识却与近代数学思想是高度一致的，那也就是说，当$n\to ∞时，\frac{1}{2^n}=0$;或$\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞$$\tfrac{1}{2^n} =1$.这大概便是所谓的“数学柏拉图主义”吧！

金瑞生

人生不要把时间浪费在这种不是问题的问题上！与之相比较我更关心我在端午节凌晨发的帖子是如何变成21日的！