《数论小火花》

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《数论小火花》


哥德巴赫猜想

哥德巴赫写给欧拉的信的原件：

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1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出了著名的哥德巴赫猜想：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和，即77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，可以表示成461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。例子多了，即发现“任何大于5的奇数都是三个素数之和。”

1742年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。[1]

研究途径
研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理以及几乎哥德巴赫问题。

殆素数
殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成"1+1"。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。

“a + b”问题的推进

1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。

1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。

1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”,“4 + 9”,“3 + 15”和“2 + 366”。

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。稍后证明了“3 + 3”和“2 + 3”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”，中国的王元证明了“1 + 4”。

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3”。

1966年，中国的陈景润证明了“1 + 2”。

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丘成桐张益唐评价陈景润
1.丘成桐评价陈景润
澎湃新闻：有人说近三十年来中国数学没有大的发展，但过去有过辉煌，我们有华罗庚、苏步青、陈景润……

丘成桐：相对于欧美的数学水平，中国数学界没有辉煌过。中国数学界最伟大的大师只有陈省身、华罗庚和周炜良，应用数学家则有林家翘和冯康，周、林两位学者长期在美国，不能够代表中国。我在伯克利读书时，大师甚多，包括陈省身和Stephen Smale 。一间大学就比得上中国数学最辉煌的时候。

这样说也许会伤很多人的心。中国数学与欧洲相比，还有不小的差距。一味地往脸上贴金是没有用的。

澎湃新闻：改革开放之初，在邓重新提出重视科技人才的背景之下，中国曾有过“陈景润现象”。作家徐迟刊登在《人民文学》上的《哥德巴赫猜想》一文使得数学成为全国上下的热门话题。当时国际数学界对于陈景润先生的研究是如何评价的？

丘成桐：陈景润做的工作很好，但谈不上伟大，对于整个数学潮流的影响有限。徐迟的报告文学是夸张的。但“文革”期间能做出工作不容易。

最近美国有位华人学者张益唐（证明弱化版孪生素数猜想），他的工作比陈景润的工作重要得多。张益唐做的是让人吃惊的工作。

注：丘成桐，美国哈佛大学数学系教授，菲尔兹奖、沃尔夫数学奖得主，证明了卡拉比猜想、正质量猜想等，是几何分析学科的奠基人

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2.张益唐评价陈景润


张益唐
记者：你刚才提到丘成桐，我好像觉得他把中国人对数学的一点自信都打掉了。为什么这样说呢？这是指他对陈景润的研究成果的评价。对很多中国人来说，那是在天上的一个数学成果。记得徐迟那篇报导文学中，说陈是摘取“数学皇冠上的明珠”的人。但陈的研究成果在丘成桐看来并不怎么样。他在国内接受采访时说：国内“以为陈景润的哥德巴赫猜想是全世界最伟大的问题，事实上不是，在美国没有人在乎哥德巴赫猜想，你问做数论的人。是媒体误导成功的。”　　

记者：究竟中国人能拿出什么样的数学成绩呢？这个时候，你的研究成果出来了，问一个比较外行问题：如果用小学、中学和大学层次来简单对比的话，你的研究成果与陈景润的研究成果相比，究竟如何呢？

张益唐：这两个研究有点不一样。客观地讲，我的研究应该比陈景润好，但陈景润应该也是第一流的，我们的研究成果都是第一流的。

记者：既然都是第一流的，第一流中是不是有超一流的呢？

张益唐：我的研究似乎更有突破性。陈景润是从1＋3进展到1＋2，我的研究是从无限变成了有限，这个跨越应该比他那个更大。

记者：再回头看，丘成桐先生对陈景润的研究成果评价不高，他对你的研究成果评价如何呢？现在似乎还没有看到他对你的研究的评价，只是知道他邀请你去哈佛做演讲。

网络上有人因此分析说，“显然他不会说张的坏话，因为就是他邀请张去哈佛给报告（而且还要张去得越早越好），讲他的研究结果的。丘成桐如果认为这个结果不重要，自然不可能邀请张去哈佛做报告，更不可能催他越早给报告越好。丘成桐的行动已经可以说明一切了。”

张益唐：他对我的这个研究的评价高得不得了。他带我出去的时候，都提到我的这个研究成果，说比陈景润要好得多。

记者：这些评价好像都没有报导出来？

张益唐：真正像他这类人，他反而不能在网上随便乱说话了。

注：张益唐，美国加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授， 2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面所取得的突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。

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数学话题下的优秀答主
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首先声明我不是搞数论的，我对陈景润的评价不一定全对。

要说陈景润的历史地位的话我觉得应该是比较一般，和张益唐差不多，至少应该在华罗庚之下，和丘成桐、陈省身那就根本不要比了。毕竟第一他没有真的证出哥德巴赫猜想，只是从“1+3”改进到“1+2”，结果的重要程度不如张益唐；第二他的工作还是在用筛法去估计质数密度，是在改进前人的方法，性质和张益唐类似；第三整个过程中他没有开创出什么新的方向。但是和同行比起来，他的水平还是很高的，比如如果陈景润是美国人，凭他那个”1+2”在美国大部分学校拿个正教授绝无问题。菲尔兹不好说有没有戏，小一点的奖拿一堆也没什么问题。

但是我想说的是，陈景润是在像老鼠一样的生存状态下，在33岁抱着病体完成的那个“1+2"的证明；文革开始以后他的生存环境恐怕连老鼠都不如；到了80年代徐迟的那个报告出来以后又被政治潮流卷着到处去作报告给演讲，天天逢场作戏，也没精力去做什么研究了。真要是让他有比如说陶哲轩那样的成长环境，从小有各路牛人提携指点，有一个能够和全世界同行交流的学术环境，没有人知道他这一辈子能够达到什么高度。不知道有没有人看过刘慈欣的小说《朝闻道》，其实在学术圈子里面，那种殉道者一样纯粹的理想主义者是很少很少的，但是陈景润绝对应该算一个。和他比起来，今天的我们都应该感到惭愧。

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作者：知乎用户
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對篩法略有瞭解的人可能會知道Vinogradov用圓法給出了三素數定理（"1+1+1"）的情況，所以可能會說爲什麼這裏不用圓法。實際上，對於歌德巴赫猜想的進展，主要就是集中在Brun篩法跟Hardy-Littlewood圓法。模糊的印象裏，圓法會給出一個比較差的bound，所以在這裏也就不再贅述。印象裏是會多一個O(N^{1/2})，細節記不清了。篩法理解起來並不難，總的來說是對某一組數A，定義一個集合，集合裏數我們想得知的數字，比如說，在朝着哥德巴赫猜想上，我們需要得知的就是以下數字：令A爲集合{a<=N|a=N-p_1}對於某個質數p_1.   S(A, z)=在A裏面滿足在A的元素n的質因子均大於z的個數。歌德巴赫猜想遂能轉化爲對於S(A,N^{1/2})的研究。通過Buchstab's identity，我們又可以把問題轉回對於一般S(A,z)上下確界的研究。在結果裏，我們會得到一定的主項，但是對於餘項的研究非常困難，涉及到一些其他問題，比如在其中一個確界裏會需求質數在mod n情況下的分佈，跟L方程的零點分佈也有關係，這些相關的問題的解決離結果還有不少距離。所謂篩法方向封死了，仔細算算這邊得到的餘項應該是能看出來的，具體我就不細算了。於是，我們就考慮另外一個比較接近的問題，就是考慮N=pm+p_n，其中p_m(p_n)是一個最多有m(n)個質因子的數，在這個情況下對於餘項的控制就比較好了，陳老前輩做的就是在這方面的工作。從結果上來講，這個不是一個非常非常困難的結果，因爲這個實際上是對Renyi的方法的改進，而Renyi的方法是建立在Brun的方法基礎上的，所以說他的工作並不是開創性的。至於做這個結果難不難，像大家所想的Trivial or not，影響大不大，希望評價的各位別光看別人怎麼看，自己鑽進paper看一眼，包括後面Ross的paper，不看paper卻對於他人的結果品頭論足終歸不可取。不知道具體對大家是個什麼影響，我個人是很受他經歷觸動的。陳老前輩大學畢業分去做高中老師，又因爲表達不是很清楚被踢去做grader，然後又被人踢回家養病。好不容易好了幾年，文革時期又被當作專政對象關起來，就在1966-1973這幾年被專政期間，他還改進了之前paper的數值結果並最終得到了現在我們看到的結論。就這個經歷裏能看出來的對數學的專注和純粹，恐怕並不是每一個人都能有的。飛鳥和蛙的比喻大家都很熟悉了，陳老前輩或許是蛙沒錯，但是蛙也是值得大家去尊敬的，一步一個腳印，腳踏實地，也比很多只會評頭論足的人強得多。至於一些關於他的結果的評論，小小的補充兩個：“Each work of Mr. Chen Jingrun seems as if it is scaling the tallest mountains of the Himalayas. It is perilous [work], but if successful, will certainly affect the world.” (André Weil, Wolf Prize in Mathematics Laureate, 1979)"Our object in this chapter will be to prove the following remarkable result of Jing-run Chen, which came to our attention only after Chapter 1-10 had gone to press; it constitutes a splendid climax to any account of sieve theory." (Heini Halberstam, H.E. Richert, Sieve Methods, 1974)當然了，希望大家做數學能夠認真學術，一心求學，只管打坐，嘴上功夫，沽名釣譽，實不可取。编辑于 2018-03-23 09:49

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欧几里得的证明

假设p1=2<p2=3<...<pr是全部素数，令P=p1p2p3...pr+1,并且p为除尽P的一个素数，则p不能是
p1,p2,p3,...,pr当中的任何一个。因为否则，将除尽差数P-p1p2p3...pr=1,而这是不可能的。所以p又是一个新的素数。从而p1,p2,p3,...,pr不能为全部素数。


欧拉的证明

对于每一个素数p,1/p<1.于是有几何级数求和
Σ1/pk=1/1-(1/p).将这n个等式相乘，得到
Π(Σ1/n)=Π1/1-(1/p).左边是所有自然数的倒数和，由算数基本定理，每个自然数恰好出现一次.但是级数Σ1/n是发散的，而上式左边有限，这导致矛盾。

欧拉恒等式

Π(1-p^-s)^-1=Σn^s


Γ(s)

Γ(s)=1/sΠ(1+1/n)^s/1+s/n
Γ(s)=∫x^s-1e^-x(dx)
sΓ(s)=Γ(s+1)
Γ(n+1)=n!
Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(πs)
Γ(s)Γ(s+1/2)=√π2^1-2sΓ(2s)
Γ(1/2s)π^-s/2


黎曼ζ(s)函数

ζ(s)=1/Γ(s)∫x^s-1/(e^x)-1dx



命题1+4

| Α^[4] |>3.24C(n)N/l0g^2N
其中C(n)=Π(1-1/(p-1)^2)Πp-1/p-2



命题1+3

| Α^[3] |>2.64C(N)N/log^2N
其中C(N)=Π(1-1/(p-1)^2)Πp-1/p-2



命题1+2

| Α^[2] |>0.62C(n)N/log^2N
其中C(N)=Π(1-1/(p-1)^2)Πp-1/p-2



ζ(2)=Σ1/n^2=π^2/6
ζ(4)=Σ1/n^4=π^4/90

ζ(2)=Σ1/n^2=1.644934066848
ζ(3)=Σ1/n^3=1.202056903159
ζ(4)=Σ1/n^4=1.082323233711
ζ(5)=Σ1/n^5=1.036927755143
ζ(6)=Σ1/n^6=1.017343061984



哈代

2C(n)n/lnn
C(n)=Π(1-1/(p-1)^2)Πp-1/p-2

小草

对于哥德巴赫猜想的研究：
哥德巴赫的发现；
欧拉的启发；
高斯的参与；
布朗的风暴；
哈代的半成品；
陈景润的牺牲；
民间数学家的闹剧。

小草

小草 发表于 2023-6-27 02:40
对于哥德巴赫猜想的研究：
哥德巴赫的发现；
欧拉的启发；

希望你能成功！

小草

1、欧拉猜想：每个大于2的整数n，任何n- 1个正整数的n次幂的和都不是某正整数的n次幂，也就是说以下不定方程无正整数解。

2、这猜想在1966年被L. J. Lander和T. R. Parkin推翻。

3、他们找出n= 5的反例：27^5+ 84^5+ 110^5+ 133^5= 144^5。

4、这是错误的。




一、欧拉猜想作为对费马大定理的推广，欧拉于1769年提出以下猜想：对于每个大于 2 的整数 n ，任何 n&#8722;1个正整数的 n 次幂的和都不是某正整数的 n 次幂。当 n=3 时，欧拉猜想是成立的，此时正是费马大定理 n=3的情形。此后欧拉猜想没有任何进展，直至1911年R. Norrie发现以下 n=4的例子（不是反例）：30^4+120^4+272^4+315^4=353^4
1966年，美国Aerospace公司的L. J. Lander和T. R. Parkin用大型计算机CDC 6600找到以下结果：27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 ,成为欧拉猜想的第一个反例。这个结果最初发布在《美国数学会快报》时，正文只有五行，此后很长时期都被视为最短的数学论文。