若正整数 n 的 5 次幂的十进制表示各位数字由 0-3 组成，则 n=(1或2)*10的幂次。

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证明或否定：正整数 n 不是 10 的倍数，若它的 5 次幂的十进制表示中，其各位数字全部由 0,1, 2, 3 组成，则 n 只能为 1 或 2 。


（难度未知，正确与否未知，不排除天一样的难度，故请谨慎试手）

小fisher

抛砖引玉
因为自然数n的5次方与n的个位数相同，又因为n不是10的倍数，所以n的个位数只能是1，2，3
对于n=10a+1（a不是10的倍数），n^5=100000a^5+50000a^4+10000a^3+1000a^2+50a+1
观察上式，可知当a是奇数时，其十位上必定是5，当a是偶数时，其千位上必定是4或6
同理，对于n=100a+1（a 不是10的倍数），当 a是奇数时，其百位上必定是5，当a是偶数时，其十万位上必定是4或6。
n=1000a+1、n=10000a+1的情况依次类推。

小fisher

对于n=10a+3，n^5=100000a^5+150000a^4+90000a^3+27000a^2+4050a+243
其十位数字必定是9或4
n=10a+2的情况好像比较复杂，暂时没发现这么明显的规律。

uk702

小fisher 发表于 2023-6-25 03:57
抛夸引玉
因为自然数n的5次方与n的个位数相同，又因为n不是10的倍数，所以n的个位数只能是1，2，3
对于n= ...

综合一下，有下列结论：

经验证，a 的 5 次幂的末位和  a  的末位相同，所以若 a 的末位大于 3，命题成立，故只需考虑 a 的末位为 1,2,3 的情况。

再验证，若 a 的末位为 x3 ，则它的末 2 位总为 43 或 93，故命题成立。

若

对于n=10a+1（a不是10的倍数），n^5=100000a^5+50000a^4+10000a^3+1000a^2+50a+1
观察上式，可知当a是奇数时，其十位上必定是5，当a是偶数时，其千位上必定是4或6
同理，对于n=100a+1（a 不是10的倍数），当 a是奇数时，其百位上必定是5，当a是偶数时，其十万位上必定是4或6。

n=1000a+1、n=10000a+1的情况依次类推。

则 a 的末位为 1 时也成立。

当 a 的末位为 y2 时，它的末 2 位总是为 32，千位则 y=0或5 时，千位为0；y=1或6时，千位为8；y=2或7时，千位为6；y=3或8时，千位为4；y=4或9时，千位为2；

故只剩下末 2 位为 02、42、52、92 的情况。

象 41402^5=121648457125510880112032，后面 7 位都在 0-3 之间，故如果没有其它招数的话，这个套路恐怕无法继续。

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n , n^5 , n^5 中末位 0-3 的长度

102, 11040808032, 3
152, 81136812032, 5
252, 1016255020032, 6
1502, 7644510180120032, 7
2502, 98047500500200032, 8
2902, 205819747233032032, 9
25002, 9769531875050002000032, 10
105402, 13009010325646403301232032, 11
250002, 976601563125005000020000032, 12
376502, 7565479132232132100210120032, 21
248004002, 938195715078699390791123223201301120320032, 22
2350345692, 71723044782609077428374922311113213213131103232, 23

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另，似乎存在整数 n，n 的十进制表示中没有任何一个数字是 0，但 n^5 的末部存在足够长的 0-3 序列。

142, 57735339232, 3
152, 81136812032, 5
252, 1016255020032, 6
2652, 131179991572012032, 7
2752, 157849113730220032, 8
3752, 743556798000300032, 9
31942, 33251445279383103003232, 10
127652, 33895193513994913332012032, 11
296542, 2293142595314606101000011232, 12
1262752, 3210630486347573090001231020032, 13
1867652, 22723738676559277700032231212032, 14
6351252, 10334672613118720669111133133100032, 15
15412192, 869605050449532264272130221101023232, 16
39631942, 97774762192371698028403030321311003232, 17
57787792, 644437055496102058766202220013113311232, 18
173447792, 156979838555867063745342031302210310111232, 19
175745692, 167657675467290263769112122032210123103232, 21

uk702

uk702 发表于 2023-6-25 09:08
另，似乎存在整数 n，n 的十进制表示中没有任何一个数字是 0，但 n^5 的末部存在足够长的 0-3 序列。

14 ...

#6楼中的命题数学研发论坛的老大已经证得，转如下所示。