方程 A^3+B^3+C^3=D^3 的整数解

lingwu05

如题：\(A^3+B^3+C^3=D^3\)
已知有两组解：\(1^3+6^3+8^3=9^3\)
以及：\(3^3+4^3+5^3=6^3\)
是否还存在其他的解

王守恩

\(n^3 + (3 n^2 + 2 n + 1)^3 + (3 n^3 + 3 n^2 + 2 n)^3=(3 n^3 +  3 n^2 + 2 n + 1)^3\)

\(n=1, 2, 3,  4, 5, 6, ...\)

luyuanhong

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A       B       C       D

1        6        8        9
2        17        40        41
3        34        114        115
4        57        248        249
5        86        460        461
6        121        768        769
7        162        1190        1191
8        209        1744        1745
9        262        2448        2449
10        321        3320        3321
11        386        4378        4379
12        457        5640        5641
13        534        7124        7125
14        617        8848        8849
15        706        10830        10831
16        801        13088        13089

lingwu05

感谢陆老师和楼上王老师提供的解，从而知道了以自然数为边长的正立方体中，某些正立方体的体积可表为3个正立方体的体积之和，如同勾股数一般（面积和），特别是3、4、5、6，本身3、4、5是一组勾股数，而以这三个数为边长的正立方体，体积之和恰好等于边长为6的正立方体体积。

王守恩

luyuanhong 发表于 2023-6-30 04:13
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A       B       C       D

B

006=04+01+1
017=09+04+4
034=16+09+9
057=25+16+16
086=36+25+25
121=49+36+36
162=64+49+49
209=81+64+64

     

Treenewbee

Ramanujan的公式：

\[(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5a^2-5ab-3b^2)^3=(6a^2-4ab+4b^2 )^3\]

luyuanhong

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王守恩

人脑能出来吗？

\(\frac{(3a^2+5ab-5b^2)^3+(4a^2-4ab+6b^2)^3+(5 a^2-5ab-3b^2)^3}{(6a^2-4ab+4b^2)^3}\)

\(=\frac{(3a^2+5ab-5b^2)^3+(5 a^2-5ab-3b^2)^3}{(6a^2-4ab+4b^2)^3-(4a^2-4ab+6b^2)^3}\)

\(=\frac{8(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(19a^2-11ab+19b^2)}{8(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(19a^2-11ab+19b^2)}\)