已知 (a+b+c-d)/d=…=(-a+b+c+d)/a ，求 (a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)/(abcd)

chenjiahao

\(\frac{a+b+c-d}{d}=\frac{a+b-c+d}{c}=\frac{a-b+c+d}{b}=\frac{-a+b+c+d}{a}\)
求\(\frac{\left( a+b+c\right)\left( a+b+d\right)\left( a+c+d\right)\left( b+c+d\right)}{abcd}\)

lingwu05

a=b=c=d，3^4

lingwu05

由已知：(a+b+c+d)/d-2=(a+b+c+d)/c-2=(a+b+c+d)/b-2=(a+b+c+d)/a-2
(a+b+c+d)/d=(a+b+c+d)/c=(a+b+c+d)/b=(a+b+c+d)/a
故：a=b=c=d，所求：(3a)^4/a^4=3^4

kanyikan

好像还有一个解：1

luyuanhong

波斯猫猫

已知(a+b+c-d)/d=(a+b-c+d)/c=(a-b+c+d)/b=(-a+b+c+d)/a ，

求 (a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)/(abcd)。

提示：令(-a+b+c+d)/a =k，则a+b+c+d=(k+2)a=(k+2)b=(k+2)c=(k+2)d，

即(k-2)(a+b+c+d)=0。

当a+b+c+d=0时，显然(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)/(abcd)=1。

当k-2=0时，易得a+b+c=3d,a+b+d=3c,a+c+d=3b,b+c+d=3a，

此时，有(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)/(abcd)=3^4=81。

当a+b+c+d=k-2=0时，由a+b+c=3d得a+b+c+d=4d=0,即d=0，这与d≠0不符。

综上，(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d)/(abcd)=1，或81。