O、H是外心和垂心，D是AH中点，若过HOD的圆的圆心在AB边上，证明圆E必与圆O相切。

天山草

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此题可看成是一个非尺规作图问题。就是当BC边确定以后，如何作一点A，使锐角△ABC满足题目所给的条件。
由作图过程发现，这样的 A 点是唯一的：
设 BC 边沿坐标系实轴，B 点为坐标原点，C 点坐标为正实数 c，在 BC 上取一点 T，其坐标为正实数 t，其值满足：
\(c=\frac{3t^5+2t^3+(t^2+1)\sqrt{9t^4-14t^2+9}-t}{3t^4-2t^2+3}\)。
  
过 T 点作半径为 1 的圆与 BC 边相切。此圆就是 △ABC 的内切圆。
从 B、C 分别作内切圆的切线，两切线交于 A，则 △ABC 满足题目所给的条件，即圆E 的圆心 E 点在 AB 上，并且圆E 与 △ABC 的外接圆相切。
证明如下：

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creasson

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*设点A,B,C, s=CotA, t=cotC, 因O、H不难求得, 故直接列出*)
   
3. points = {B -> 0, C -> 1, A -> (1 + I s)/(1 - I t), O -> (1 + I s)/2,
   
4.    H -> (1 - s t)/(1 - I t)};
   
5. AppendTo[points, D -> Factor[(A + H)/2 /. points]];
   
6. (*圆心E*)
   
7. AppendTo[points,
   
8.   E -> Factor[
   
9.     ComplexExpand[(
   
10.        Conjugate[#1] #1 (#2 - #3) + Conjugate[#3] (#1 - #2) #3 +
    
11.         Conjugate[#2] #2 (-#1 + #3))/(
    
12.        Conjugate[#3] (#1 - #2) + Conjugate[#1] (#2 - #3) +
    
13.         Conjugate[#2] (-#1 + #3)) & @@ ({H, D, O} /. points)]]];
    
14. (*E在AB上*)
    
15. colinear =
    
16.   Factor[ComplexExpand[Im[(E - A)/(E - B) /. points]]] // Numerator;
    
17. (*锐角三角形条件*)
    
18. trigcond = Reduce[s > 0 && t > 0 && (1 - s t)/(s + t) > 0, {s, t}];
    
19. (*边长条件AB < AC*)
    
20. sides = {AB -> Factor[ComplexExpand[Abs[A - B /. points]]],
    
21.    AC -> Factor[ComplexExpand[Abs[A - C /. points]]]};
    
22. sidecond = Reduce[#1^2 < #2^2, {s, t}] & @@ ({AB, AC} /. sides);
    
23. (*联合求解*)
    
24. tsol = Solve[colinear == 0 && sidecond && trigcond, t] // Factor //
    
25.    Flatten;
    
26. Print["参量关系:\n", tsol];
    
27. points =  
    
28.   Simplify[points /. tsol, Assumptions -> (t /. tsol)[[2]]] // Factor;
    
29. Print["各点表示:\n", points];
    
30. AppendTo[points, F -> (1 + I s)/(1 - I u)];
    
31. (*F,H,O,D四点共圆条件*)
    
32. concyclic =
    
33.   Factor[ComplexExpand[
    
34.      Im[((F - H) (D - O))/((D - H) (F - O)) /. points]]] // Numerator;
    
35. (*相切条件*)
    
36. delta = Factor[Discriminant[concyclic, u]];
    
37. If[ delta == 0, Print["结论成立"], Print["结论不成立"]];

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这道题来自纯几何吧。原题要求 △ABC 是锐角三角形、且 AB<AC。经画图知，其实 AB<AC 是不必要的。

见下图。左图中  AB<AC，右图中  AB>AC。

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下面的程序思路是 denglongshan 提供的。其核心技术是利用了一个相交的两圆的连心线与公共弦的交点的计算公式，此公式也是denglongshan 推导出来的。当两圆并不相交时，利用这个公式算出的交点即是两圆连心线与两圆根轴的交点。当两圆相切时，此点就是切点。根据这一原理，可写出一个非常精练的证明程序如下。



程序代码：

1. Clear["Global`*"](*令外接圆为单位圆，圆心在原点*)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = o = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = 1/b; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 1/c; h = a + b + c;
   
4. \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\);(*外接圆圆心在原点*)
   
5. d = (a + h)/2; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(h\), \(_\)]\))/2;
   
6. XiangjiaoxuanLianxin[o1_, a_, o2_, b_] := 1/(2 (\!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\))) (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) o2 + b \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) o1 - a \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) o1 - o2 \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\));
   
7. (*圆（O1，A）与圆（O2，B)连心线与公共弦的交点*)
   
8. \!\(\*OverscriptBox[\(XiangjiaoxuanLianxin\), \(_\)]\)[o1_, a_, o2_, b_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) o2 + b \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) o1 - a \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) + o2 \!\(\*OverscriptBox[\(o1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(o2\), \(_\)]\) o1)/(2 (o2 - o1));
   
9. WX[a_, b_, c_] := (a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (b - c) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (c - a) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (a - b) )/( \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (c - a) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (a - b));
   
10. \!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[a_, b_, c_] := -((a \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) + b \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) + c \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) )/( \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (c - a) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (a - b)));
    
11. e = WX[d, o, h]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(WX\), \(_\)]\)[d, o, h];
    
12. \!\(\*OverscriptBox[\(ee\), \(_\)]\) = \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\);(*转存一下，为后面回代从 Overscript[e, _] \
    
13. 中消掉 a 做准备 *)
    
14. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
    
15. Simplify@Solve[{k[a, b] == k[a, e]}, {a}];(*若E点在AB上，求A点坐标与B、C坐标的关系*)
    
16. a = -((c (2 b + c))/(b + 2 c));(*另一个解是 a=0，舍去*) \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = 1/a; Print["a = ", a];
    
17. e = Simplify[e]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Simplify[\!\(\*OverscriptBox[\(ee\), \(_\)]\)];(*回代到E的坐标，下面证明此时E点在圆O上。*)
    
18. Print["e = ", e];
    
19. Print["测试圆E 的直径是否等于 1： ", Simplify[(o - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)) == 1/4]];
    
20. Print["因为圆E 的直径等于 1 且O 点在圆E 上，所以两圆相切。"];

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此题所述命题，逆命题也成立。即：
O、H 是锐角三角形 ABC 的外心和垂心，D 是 AH 的中点，若过 H、O、D 的圆恰好与圆O 相切，
则圆心 E 必在 AB 上。
证明是类似的：