Weil ：数论今昔两讲（下）

luyuanhong

Weil ：数论今昔两讲（下）

作者 | A. Weil

来源 |《物不知数》

（Jascha Heifetz And The London Philharmonic Orchestra – Tchaikovsky Op. 35 Concerto In D Major For Violin And Orchestra, 1st Movement）


（André Weil（1906~1998）图源：http：//antonioanicetomonteiro.blogspot.com/2007/04/andr-weil-6-mai-1906-paris-6-aot-1998.html）

Bourbaki 在关于微积分的历史注记中写道, 数学的历史进程就像一部交响乐的乐理分析那样, 一共有好几个主题, 你多少可以听出来某个特定的主题是什么时候首次出现的, 然后, 这个主题逐渐与其他主题融合在一起, 而作曲家的艺术就在于把这些主题进行同时编排，有时小提琴演奏一个主题，长笛演奏另一个，然后彼此交换，就这样继续下去.

数学的历史也是如此，你面前有好几个主题：例如 ζ-函数，你多少可以精确地说出它是何时何处开始的，即 Euler 于 1730 年至 1750 年间提出的，这在昨天我们已经讲过了。然后，它向前发展，直至与别的主题紧密交织在一起，要想把整个进程中的各个主题分离开来，那就要写一整部书.

我现在来花点时间讨论一个主题，即 ζ-函数及其函数方程。我们昨天已经提到，这个方程是 Euler 在 1749 年部分地证明了的，他的证明在于对所有偶数 n≥2 计算 ζ(n) 并对整数 n＞0 计算交错级数 1-2^n+3^n-4^n+… 。这个级数表示什么东西？当然 Euler 有所谓轻率地处理发散级数的名声，但是任何一个像 Euler 那样一生之中对如此之多的级数进行过数值计算的人都不可能不知道收敛级数与发散级数的区别，也许比较确切的说法是，可计算的收敛级数与其他级数的区别。从这一观点看，ζ(n) 在 n＞1 和 n＜0 时是一样的糟糕：在这两种情形下，都必须把它变为别的便于数值计算的东西。事实上，当 Euler 讨论发散级数时，他的话总是表达得很准确：唯一可以与他争议的地方（与他同时代的人确实也与他争议过）是，他认为，对于发散级数，所有的“合理”的求和法都导致同样的结果：但是，如果你不能给“合理”一个判别准则（而且事实上 Euler 也没有给出过这样一个判别准则，他有的只是这方面的丰富经验和良好的直觉），那么这句话当然是没有意义的。在级数 1-2^n+3^n-4^n+… 的情形，Euler 用所谓 Abel 求和法作出幂级数



并发现这表示一个有理函数，然后他对 x=1 取值。他是借助所谓的 Euler-Maclaurin 求和公式得出他的结果的，此公式引进了 Bernoulli 数。如果你去看他的原著，你会发现，他的确是颇为鲁葬地应用了这一公式：后来他给出了比较令人满意的做法，但他的本能是完美无瑕的。

Euler 没有在 ζ-函数面前止步；他还考虑了若干形如 ∑c(n)n^(-s) 的级数，这里 c(n) 只依赖于 n 模 N（N 是一个较小的数）的同余类。但这一课题似乎没有得到进一步的探讨，直到 19 世纪 30 年代 Dirichlet 才重新考虑这类问题，并且发现，这种级数实际上是数论研究中的一个主要工具。这一成就使得这类级数从此被恰当地称作“Dirichlet 级数”，虽然 Dirichlet 本人谦虚地承认他从 Euler 那里得到的好处.

Dirichlet 同时引进了有理数域的 L-级数，例如，



其中 χ 是一个特征标（眼下最重要的一点是，χ 是 n 的周期函数，即 χ(n+a)=χ(n) 对某个 a 及一切 n 成立）：Dirichlet 还引进了下列形式的级数



其中 a,b,c 是整数，这些我们现在归类为二次数域上的 L-级数和 ζ-函数，其中第二个级数中包含一个二次型，我们知道（事实上，Dirichlet 在一般的意义下也已经知道，虽然不是十分清楚）二元二次型（即 am^2+bmn+cn^2 这种东西，其中 a,b,c 是整系数，而 m,n 是不定元）的理论本质上等价于我们称为二次数域的理论.

我们的故事的下几回与其说是属于数论还不如说是属于分析，但是这里必须提一提它们。一件很有意思的事发生在 1849 年，两位很有名望的数学家完全独立地发表了两篇论文，两人都写出了 L-级数



的函数方程，其中一位叫 Schlomilch ，他在 Archiv der Mathematik und Physik 杂志中把这作为高年级大学生的习题发表出来；另一位叫 Malmquist ，他在发表于 Crelle's Journal 的一篇论文中不加证明地叙述了这一方程，并补充了另外两个类似的级数的相似结果。他在注解中写到他想起“似乎在 Euler 的著作中见过这一类东西。”自然，若用 L(s) 表示上述级数，那么在临界带 0＜s＜1 中，L(s) 和 L(1-s) 都是收敛的（虽然不是绝对收敛），而结论只是对此而言的，所以不存在解析开拓的问题。1858 年多尔帕特的一个叫 Clausen 的教授给 Archiv 杂志寄了一份 Schlomilch “习题”的解答，他是用正统的 Cauchy 留数计算做的，显然他们都认为这种东西是呆板的计算.

从我们的角度来看，Riemann 这个人更奇特，在上一世纪的大数学家中，他在很多方面都是很杰出的，但奇怪的是，他对数论与代数完全缺之兴趣。如果考虑到他做学生时与 Dirichlet 和 Eisenstein 以及后来与 Gauss 和 Dedekind 关系之密切，而后者后来还成为他最亲密的朋友，这就更加令人惊讶了。当 Riemann 在柏林上大学时，Eisenstein 试图（后者自认为多少有些成效）把他吸引到数论方面来。1855 年当 Dedekind 在哥廷根讲 Galois 理论时，人们可能以为 Riemann 由于他当时对代数函数论的兴趣会对此理论关注的，但是没有丝毫的迹象表明他对 Galois 理论有过留意。显然他是作为一个分析学家来研究 ζ 函数的，也许他注意到了 1849 年 Schlomilch 和 Malmquist 以及 1859 年 Clausen 的论文。总之，很可能在他看来，ζ-函数的解析开拓与函数方程不过是呆板的推理；而他真正感兴趣的是与素数定理的联系以及现在归之于“解析数论”的那些内容。上次我讲过，我认为解析数论根本不是数论。但是，Riemann 的 1859 年关于 ζ-函数的论文中有两点对我们现在讨论的东西是至关重要的.


（Riemann , 1826-1866）


（DIrichlet , 1805-1859）


（Dedekind , 1831-1916）

首先，他给出了函数方程的两个证明，而与我们现在有关的是第二个证明，这就是通过现在被称为“Mellin 变换”的东西把 ζ-函数与函数



联系起来的证明，我们讲过，Euler 也考虑过 f(q) ，但只是将它看成一个形式幂级数，Riemann 注意到，f(q) ，或者更准确地说是 θ(q)=2f(q)+1 ，本质上就是 Jacobi 的 θ-函数，这样，一个新的音乐主题进入了我们的交响乐，这个主题的地位由于 Hecke 关于模形式的工作而大大突出起来，而且是当今在模形式领域中工作的人十分熟悉的。


（Hecke, 1887-1947）

正如 ζ(s) 的函数方程把 ζ 在 s 的值与 1-s 的值联系起来那样，θ-函数的函数方程联系了它在 q=e^(2πiτ) 与 q'=e^(-2πi/τ) 的值，而且 Riemann 还发现，前者是后者的直接推论，θ-函数的方程 Gauss 已经得到，这是从他的未公开的论文中看出的，但他从未发表过，这一方程首次出现在 Jacobi 关于椭圆函数的著作中，而且是其理论的一个基本组成部分，在后来关于椭圆函数的理论论述中，Jacobi 对此方程给予越来越显要的地位。Riemann 一定非常熟悉这一方程，他不仅可能从 Jacobi 的 Fundamenta 中，而且还可能通过他大学一年级在柏林听的 Eisenstein 关于椭圆函数的讲座中得知它。我们这里要记住，Jacobi 主要是分析学家，但他对数论有浓厚的兴趣，而且他用 θ-函数证明了 Fermat 关于四个平方和的定理，这与 Euler 在大约一百年前预言的完全吻合。



但是，Riemamn 对数论的主要贡献也许在于把人们的注意引向所谓的 Riemann 猜想。这里我想指出，在过去，当人们使用“猜想”或“猜测”这个字眼时，不能简单地理解为这表示某种一厢情愿的愿望，在今天这两者经常被混为一谈。例如，关于 Diophantus 方程的所谓“Mordell 猜想”说，任一亏格大于等于 2 的有理系数曲线至多只有有限多个有理点，倘若果真如此，那当然很好，要是打赌的话，我愿意赌它对，而不愿赌它错。但这不过是一厢情愿，因为没有一丁点儿支持它或者反对它的证据。在过去，猜想一词只适用于（我建议仍然这样做会有益）那样的情形，即存在一些令人信服的证据的情形。例如，我昨天说过，当年 Euler 断言



成立时，他已经计算过很多项，而这就可以看作是令人信服的极好的证据。

同样的，当 Riemann 作出他的猜想的时候，他口袋里装着的东西比他在论文中证明的要多得多：他不仅知道 ζ-函数在直线上有无穷多个零点，而且在某种意义下，大约多数零点都在那个地方：这是 Siegel 从 Riemann 未发表的手稿中分析出来的（见 Siegel 的 Collected Works vol.I，no.18）。我再说一遍，Riemann 的兴趣只在分析，他本人以及他的一些继承人（例如 Hadamard 和 de la Valleé Poussin）也认为这是分析中的一个问题。今天我们回过头来看，知道事情显然不是这样。不知由于什么原因，通过某种我们还不能解释的联系，Riemann 猜想表达了代数数域的一些地地道道的数论性质，这个看法的主要依据是与有限域上的函数域的类比，对于后者，Riemann 猜想已经是证明了的而且是一种重要的算术性质，虽然部分地也是代数几何的性质。


（Siegel, 1896-1981）

在 Riemann 之后，下一个重大的步骤就是对任意的代数数域引进 ζ-函数；这是 Dedekind 做的，Dedekind 充分认识到这些函数对于代数数域理论的价值。作为他的理想论的直接推论，他发现这些函数的 Euler 乘积以及它们与理想类的个数的关系，他有 Dirichlet 作为向导，而且与 Dirichlet 一样，他没有试图去解析开拓他的 ζ-函数，在他看来，为了计算类数，知道级数在 Re(s)＞1 时显然收敛以及 ζ(s) 在 s→1 时的性质就足够了，解析开拓是很久之后 Hecke 做的。

说到这里，我们已经进入了代数数域理论的领域，这一理论的历史与二次型及互反律的历史是不可分割的：新的主题加入了进来，因此，我们必须倒退两百年，再重新从 Fermat 讲起。

Fermat 把他的数论研究按照两个问题进行归类，一个是亏格为 1 的不定方程，例如著名的方程 x^4-y^4=z^2
，x^3+y^3=z^3 ；另一个问题是：对于给定的 N ，问，什么整数，特别是，什么素数，可以写成 x^2±Ny^2 ？对于 x^2+y^2 ，x^2+3y^2 ，x^2±2y^2 他都得到了自认为满意的解答。例如，一个素数 p 可以写成 x^2+3y^2 当且仅当 p≡1(mod 3) ，但是当研究到 x^2+5y^2 这个形式的时候，他发现了令他困惑不解的现象，他做了如下的记述。首先，p 可以表达成这种形式的可能性不仅与 p 模 5 的同余类有关，而且还与 p 模 20 的同余类有关，这在我们看来是不足为奇的。因为，二次型 x^2+5y^2 与二次数域 Q(√-5) 有关，因为 -5≡3(mod 4) ，故此域的判别式为 -20 。上述现象可能已经令 Fermat 惊讶了，但是真正使他困惑不解的是他通过经验（即数值实验）发现的下列事实。出于同余的考虑，形如 p≡3(mod 20) 或 p≡7(mod 2) 的素数显然不能写成 x^2+5y^2 ，但是 Fermat 从计算发现却无法证明的是：任何两个这样的素数的乘积，或者任何一个这样素数的平方总可以写成 x^2+5y^2 。

这是数学史上非常具有典型性的一件事。只要存在一个使人真正感到困惑并且无法理解的现象，通常总是值得对它进行最仔细的考察，因为不知道什么时候就会从中产生出某个重大理论来。事实上，刚才提到的现象我们可以这样解释。在数域 Q(√-5) 中有两个理想类，它上面的 Hilbert 类域是四次域 Q(i,√-5) ，它包含在 20 次单位根生成的域中，幸运的是，这是有理数域的 Abel 扩张。因此，域 Q(√-5) 中的素数 p 的性质，包括它的理想素因子所属的理想类（如果它在域中分裂的话）只与 p 模 20 的同余类有关，因此，当 p≡1,9(mod 20) 时，它就可以写成 x^2+5y^2 ；如果 p≡3,7(mod 20) ，它就可以用判别式为 20 的其它二次型，即 2x^2+2xy+3y^2 来表示，但任何两个这种素数的乘积可以写成 x^2+5y^2 ：在其他所有情形，不可能有这种表示法。所有这些都可以用二次型的类和种（genera）的术语来说，Gauss正是这么做的，然而我们觉得这些术语不够具有启发性。

然而，回到 Fermat 的问题，素数 p 可以写成 x^2±Ny^2 还有一个显然的必要条件，即 p 是这个形式的因子，也就是说，对于适当的 x,y（不全是 p 的倍数），p 能整除 x^2±Ny^2 。我们都知道，这是一个简单得多的问题，它等价于说 ±N 模 p 同余于一个平方：±N≡(x/y)^2(mod p) ，即是被 Euler 命名为素数 p 的二次剩余的东西。对于给定的 p ，容易（例如，可以穷举模 p 的所有整数）求出哪些数是二次剩余。

但是，如果你问对于什么素数 p ，一个给定的数 ±N 是它的二次剩余，这就是一个需要认真考虑的问题了。数值实验表明这样的素数属于若干个算术级数，其公差为 N 或 4N ，根据具体情况而定。

Euler 对这个问题思索了多年以后才经验地得到这个事实；他在后期的著作中发表了这一结论。当然，一旦问题表述清楚之后，用数值实验去寻找答案并不是非要 Euler 这样的数学家才能做到的。1785 年，Legendre 第一个给出了二次互反律的明确公式，但他显然并不知道 Euler 已经发现了这一定律，甚至 Gauss 也好像没有注意到 Euler 论文中那个结论，也许是因为那些对他是无所谓的：他不仅发现了这个定律，而且还给出了完整的证明：更何况 Gauss 对这一定律的叙述采取的是 Legendre 所给的形式，而 Legendre 还给出了部分的证明，所以 Gauss 没有提到 Euler 就不足为奇了。这件事说来也怪，这个问题 Euler 搞了一辈子，而且他又是这样一个有能力的数学家，居然最后没能证明它。总之，第一个证明是 Gauss 于 1796 年 4 月 8 日，即他 19 岁生日前夕完成的，并且理所当然地列为他的伟大成就之一。有了互反律我们的交响乐又有了一个重要的主题，而且大家都看到，Euler 在这当中再一次起了重大作用。

然而，下一个发展——四次互反律却是归功于 Gauss 一个人的。他在早年就开始考虑将二次互反律推广到三次剩余和四次剩余的情形，结果他发现这样的定律在有理数的范围内连恰当的猜测都无法提出来，对它们需要三次单位根和四次单位根的域。昨天我提到，Euler 曾祝贺 Lagrange 大胆地将无理数甚至虚数应用于数论问题中。他们两人都认识到，形如 x+y√-N（其中 x,y 是普通的整数）的数在讨论 x^2+Ny^2 这种形式时具有十分重要的价值，Gauss 无疑也知道这一点，但是在他的工作中，他从来没有走这么远，他只是在关于四次剩余的杰出工作中引入了 Gauss 整数 x+y√-1 。说到这里，我想插入一段我个人的一件轶事。

1947 年在芝加哥时，我曾感到厌倦和有闷，不知道该做什么。我拿起以前从未读过的 Gauss 关于四次剩余的两篇论文来念，Gauss 整数出现在第二篇论文中，第一篇论文讨论的是关于方程 ax^4-by^4=1 在模 p 的有限域中的解的个数及其与某些 Gauss 和的关系：所用的方法实际上与 Disquistiones Arithmeticae 中最后一节讨论方程 ax^3-by^3=1 及三阶 Gauss 和的方法完全一样。结果我发现，类似的原理也适用于方程 ax^n+by^n+cz^n+…=0 ，并且这推出所谓的 Riemann 猜想（后面我还要详细讨论它）对有限域上的所有曲线 ax^n+by^n+cz^n+…=0 成立，以及广义的 Riemann 猜想对射影空间中具有对角方程 ∑aixi^n=0 的代数簇也成立。这就启发我对有限域上的簇做出猜测，这些猜测有些后来被 Dwork ，Grothendieck ，M. Artin 和 Lubkin 证明了，还有一些仍然没有解决。

与此相关联，我或许还可以顺带讲几个传记上的难题，在 Gauss 的 1814 年最后一篇日记中，他对方程 x^2+y^2+x^2y^2=1 在模 p 有限域中的解的个数作了一个结论，这个结论等价于这条曲线上的“Riemann 猜想”，他说他是通过归纳（即经验）得到这一结论的。如果令 z=y(1+x^2) ，我们就得到曲线 z^2=1-x^4 ，而这条曲线可以用他关于四次剩余的第一篇论文中的方法容易地处理。可以肯定他一定注意到了这个事实，否则他就不会说“这建立了双纽线函数与四次剩余的漂亮联系”；但 Dirichlet 和 Bachmann 两人都没有看出这个联系。令人费解的是，Gauss 在 1813 年的日记中写道，在“经过将近七年的冥思苦想”后他终于掌握了四次剩余的理论（这是在“他第二个儿子出生的同一天”，显然他认为前一事件更重要）。但是我们接着又发现，他在 1807 年写给 Sophie Germain 的信中（日期是“我的三十岁生日”）已经说过同样的话。这是否意味着，他在 1807 年已经发现了主要的事实，而过了很久以后才找到证明呢？在他的关于四次剩余的第二篇论文中，他仍然认为他的这些结果是“最深奥的秘密”，并且把证明推迟到以后给出：但这之后不久 Jacobi 竟斗胆给他寄去一个漂亮而又相当简短的证明，这就可能打消了 Gauss 再发表他自己的证明的念头.


（Hermite , 1822-1901 , Poincaré 的老板）

但是，在继续讲互反律之前，我们还要对代数数域的出现的问题再多说几句，我们已经看到 Euler 与 Lagrange 是如何开始使用代数数的。正如前面所述，Gauss 也一定知道二元二次型与二次域的关系。Gauss 的特殊贡献是引进了具有给定判别式的二元二次型的类群（类的概念以及类数的有限性是 Lagrange 发现的并且已经被 Legendre 做了进一步的研究），但是这没有立即对二次域的研究产生影响；当然，在 Gauss 整数的情形，类数是 1 。另一方面，Dirichlet 证明了（Hermite 几乎也证明了）代数整数环中可逆元的定理。但是，连 Dirichlet 和 Eisenstein 都不知如何去克服代数数的乘法理论的基本难点，即，用我们的术语讲，类数不一定是 1 ：这些都被 Kummer 天才地用他的“理想因子”一劳永逸地解决了。这是 1845 年的事，我们从 Kummer 给他从前的学生 Kronecker 的信中可以详细追潮这一段历史.


（Kummer , 1810-1893）

事实上，Kummer 所做的是明显地求出分圆域 Q(ε) 上的所有賦值。此处 ε 是 l 次本原单位根，l 是素数。所以，他同时也找出了有理素数在该域中的素理想分解。后来，他把这些结果推广到一般的域 Q(ε) 的情形（其中 ε 是 n 次本原单位根）：并且部分推广到了“Kummer 域 ” Q(ε,ξ^(1/n)) ，其中 ξ∈Q(ε) ；当 n=2 时，就包括了二次域。他把这个理论应用于 Fermat 问题上，这并不是说他认为 Fermat 问题很重要，而是因为他同 Gauss 一样，认为这对分圆域理论是一次很好的检验。但是，Kummer 和 Eisenstein 也把这个理论广泛地用到高阶互反律上，很可能在这方面还有许多有价值的想法还没有得到充分的发挥：也许在 Eisenstein 关于椭圆函数与三次互反律和四次互反律的关系的发现上也是如此。Eisenstein 很年轻时便夭折了。Kummer 从来没有想过把理想论推广到任意代数数域：他很情愿把这留给别人去做。Dedekind 和 Kronecker 做了这件事。


（Kronecker , 1823-1891）

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由于时间有限，我们必须跳一大步，跨入本世纪。我们来看看 E. Artin 以及他在我们的两个重要主题—— ζ-函数与互反律方面做了什么。Hilbert 已经认识到，所有的互反律都与代数数域的 Abel 扩张有关；这当然是基于 Galois 群的概念。而且，Kronecker 对此有重要的贡献。Hilbert 对数域的 Abel 扩张作了很多猜测，他证明了一部分，Furtwangter 和高木貞治（Takagi Teiji）证明了另外一些。但是，直到 Artin 猜测并证明了他的互反律之前，这个大厦还缺一个屋顶。这个互反律的主要部分是这样一件事：设 K 是数域 k 的 n 次 Abel 扩张，Z(s) 是 K 的 Dedekind 的 ζ-函数，则 Z(s) 可以分解为 n 个因子，每一个都是 k 的 L-函数。这种由 H. Weber 在 1897 年首先定义的 L-函数是早先 Dirichlet 引进的 L-函数的直接推广，Hecke 关于 ζ-函数的函数方程的证明对这些函数也同样适用。


（Weil , Basic Number Theory , pp. 280.）


（Hilbert , 1862-1943）


（高木貞治, Takagi Teiji , 1875-1960）


（Artin , 1898-1962）

在座的大多数人看不出这与 Euler ，Legnedre 和 Gauss 原先的二次互反律的关系。即使 Gauss 也不能立即看出来，但是 Dirichlet 也许能。总之，（请大家相信）有一条清晰的线索把二者联系起来。

这样，两个主题在艺术大师的手中是如此地融合在一起以至于只有通过精心地分析才能把它们分离开来。我还不得不提一下另一个发展，这也是 Artin 做的。Dedekind 与 Weber 以 Dedekind 的代数数域理论为模板讨论了模 p 有限域上的单变量代数函数域，这可以看成是同余式 F(x,y)≡0(mod p) 的理论，此处 F 是一个整系数多项式，把这推广到任意的有限域也不难。Artin 在他的博士论文中指出了如何把 Dedekind 的代数数域的函数的定义推广到这种函数域。他觉得这个新的 ζ-函数与 Dedekind 原来的 ζ-函数几乎是同样地神秘，虽然他可以证明它们是 p^-s 的有理函数。特别是，他看不出有什么理由指望它们的 Riemann 猜想的证明比经典的要容易。然而，不到 25 年之后，借助于数论与代数几何二者的结合，这个问题解决了。我们前面提过，Gauss 在最后一篇日记里的猜测与定理都是这个结果的特例；另一方面，这个结果是否能推广到有限域上的代数簇仍然是一个没有解决的问题。

现在我们已经到达了当代前沿领域的一个最敏感的地带，再用几分钟回过头来看看 Gauss 和他的二元二次型理论。我们已经看到，这个本质上是二次数域的理论的东西如何发展成为所有代数数域的理论。另一方面，Gauss 还做了另一个推广：讨论多个变量的二次型：在 Gauss 之后，沿着这条路探索过的还有（例如）Hermite ，Eisenstein ，H. J. S. Smith ，Minkowski 和近代的 Siegel 。从现代观点来看，这是正交群的算术理论，而代数数论可以看成是处理另一种群，即所谓代数环面。后一观点在 Dirichlet 与 Hermite 关于这些域的代数整数环的可逆元的工作中已经很明显。所有这些都可以用一个主题词来概括：代数群（特别是约化群）的算术理论。


（Minkowski , 1864-1909）

这样，我们又一次接近了当代的课题，以至于我至少可以向大家提两个最有希望的发展方向。我们说过，Artin 的互反律（它在某种意义下包括了所有已知的互反律）讨论的是严格交换的情形，它建立了具有可换的 Galois 群的数域扩张与该域的乘法群的关系，下一步该迈向何处？显然，我们应该考虑非交换的情形。

用近代记号，一个变量的乘法群是 GL(1) 。Leibniz 不会说这是个平凡的群，因为他做的一大部分工作是关于指数函数与对数函数的；Euler 同样也不会这么说；但也许很多更晚近的数学家看不起这个群。但是，从某种意义上说，类域论和 Artin 互反律只不过是数域上的 GL(1) 的理论，而现在我们面临的问题是对 GL(n) 建立相应的理论。这是一个庞大的问题：例如，只是到了最近，Jacquet 与 Langlands 才开辟了一些研究 GL(2) 的途径：他们的工作表明这与 Artin 的非交换的 L-函数有确定的联系，因此 ζ-函数的主题在这里再一次出现，而且又一次构成互反律的对位旋律，也许 Riemann 猜想将以某种奇妙的方式在这里起作用。

到现在，我们已经有一段时间远离了椭圆函数、模函数、亏格 1 的曲线这类东西构成的主题了，然而，它们一直没有从我们的视野中完全消失。Eisenstein ，Kronecker ，Weber 精心培育了它们，较近代则有 Fueter 和 Hasse（出于对复乘法以及椭圆函数域的 Riemann 猜想的考虑）。但是最要紧的是，Hecke 开始了模函数的研究，并且把它重新放回它过去所在的数论领域。Poincaré 和 Klein 曾徒劳地试图把它塞进函数论中去（当然，像 Poincaré 这样杰出的数学家是不会不知道其算术背景的，而且他还写了一篇题为“Fuchs 函数与算术”的论文，这篇文章现在仍然值得一读）。在某种意义上，这仍然是 GL(2) 的理论，但是要从一个不同的角度去看：在这里，Dirichlet 级数和经典的互反律的推广起了重要的作用。现在不是谈细节的时候，我建议你们去看志村五郎的工作，它能说明我的意思。


（Poincaré, 1854-1912）


（Klein , 1849-1925）

（关于 Poincaré 与 Klein ，参见《数学在 19 世纪的发展（第一卷）》，F. Klein 著，齐民友 译，高等教育出版社 2010 年版，最后一章《群论与函数论；自守函数》。）







我希望通过这些已经能使大家相信：数论发展的主要线索是十分连贯的，至少从 Euler 的时代到现在是如此，我不奢望能做得更多了：如果我已经使大家信服了这一点，这就超过了我所期望达到的目标.

跋（1973 年 7 月）

在报告中我提到 1948 年我的几个猜测，其中包括有有限域上任意维代数簇的广义 Riemann 猜想。

现在，这些猜想都已经被 Deligne 证明了。而且，借助于伊原康隆（Ihara Yasutaka）的工作，他也证明了这些猜测蕴含 Ramanujan 关于函数的猜测，而后者在我的演讲中被描述成是“远未解诀的问题。”

数论不是静止不前的。（完结）

一些参考资料：

"... et on peut dire que tout ce qui a été fait en arithmétique depuis Gauss jusqu'à ces dernières années consiste en variations sur la loi de réciprocité： on est parti de celle de Gauss； on aboutit, couronnement de tous les travaux de Kummer, Dedekind, Hilbert, à celle d'Artin, et c'est la même。Cela est beau, mais un peu vexant. Nous en savons un peu plus que Gauss, sans doute； mais ce que nous savons de plus, c'est justement（ou peu s'en faut）que nous n'en savons pas plus..."

”......可以说从 Gauss 开始到近年以来，人们在算术中完成的所有工作都是互反律的某种变体：起始于 Gauss 的互反律，集结了 Kummer ，Dedekind 与 Hilbert 的所有工作，到达 Artin 的互反律。但它们都是一样的。这当然很优美，但也令人懊恼。无疑我们知道的是比 Gauss 多一点了；但更一进步说，（几乎）可以明确的是我们不知道的更多。......"

—— Weil，写给 Simone Weil 的一封信，全集[1940a]





互反律的“长征”：




（Weil，Basic Number Theory 扉页。从 Fermat 发现互反律现象起，至类域论的完成，经过约三百年。）

关于这部分内容，可参考 Serre 的讲座：

Groupes de Galois, le cas abélien





我们有多无知？



（Frank Calegari, Reciprocity in the Langlands Program since Fermat's Last Theorem.）

“The key problem is that the automorphic forms（Maass forms with eigen value 1/4 in this case）are very hard to access."


（Frank Calegari , 1975~ , ICM2022 作全会报告。）

2023 年：自 Artin 建立 Artin 互反律并引入 Artin L 函数（1923）后一百年：





Boxer-Calegari-Gee-Pilloni , Abelian surfaces over totally real fields are potentially modular.  Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 134（2021）, 153–501.





"The 10 author paper" Potential automorphy over CM fields. Ann. of Math.（2）197（2023）, no. 3, 897–1113.


（@李安）

“数论不是静止不前的.” —— Weil



"The years 1965-1967 were an especially favorable period for Number Theory： besides Weil's paper [We 67], and the Sato-Tate conjecture（[Ta 65]）, there was the launching of Langlands program [La 67] and the introduction of motives by Grothendieck（[CS 03, pp. 173-175]）. It was already suspected at that time that these daring theories are but the different facets of the same mathematical object。Half a century later, a lot of progress has been made by Deligne, Faltings, Wiles, Taylor and others, but we still do not know exactly how the pieces fit together."

----Jean-Pierre Serre, Lectures on , CRC Press, 2011, pp. 12








（Postech, 2011. 图源：https：//www.flickr.com/photos/postechimage/5576057696/in/photostream/ ）

















1923 , Artin：1, fonctions L non abeliénnes；2, Préciser l'isomorphisme de Takagi； 3, En déduit le "th" d'équidistributions de Frobenius（pour G abéliennes）. 1925, Chebotarev, démontre. 3.

（1923 , Artin：1, non abelian L functions；2, make the isomorphism of Takagi precise； 3, deduce the "theorem" of equidistribution of Frobenius elements（for G abelian）. 1925, Chebotarev proved 3.）

2023 - 1923 = 100

A. Weil 好玩的数学 2023-06-19 07:02 发表于江西