从ΔDEF向外作正三角形DEE',DFF'，A,B,C分别是DE',EF,DF'的中点，证：ΔABC是正三角形

ccmmjj126

有印象的几何题

如下题图，是不是在论坛讨论过？我记不起来了。

天山草

天山草

程序代码：

1. Clear["Global`*"];(*令三角形DEF的外接圆为单位圆，圆心在坐标原点。各顶点坐标为 d=u^2; e=v^2; f=w^2 *)
   
2. d = u^2; e = v^2; f = w^2; \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = 1/u^2; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = 1/v^2;
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = 1/w^2;
   
4. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
   
5. (*EE'的复斜率为：*)kEE' = k[d, e] E^(2 I \[Pi]/3);(*FF'的复斜率为：*)kFF' = k[d, f] E^(-2 I \[Pi]/3);
   
6. (*DE的中点坐标为：*) mDE = (d + e)/2; \!\(\*OverscriptBox[\(mDE\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))/2;
   
7. (*DF的中点坐标为：*) mDF = (d + f)/2; \!\(\*OverscriptBox[\(mDF\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\))/2;
   
8. (*这样就可以求E'和F'的坐标：*)
   
9. (*过A1点、复斜率等于k1的直线，与过A2点、复斜率等于k2的直线的交点：*)
   
10. Jd[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((k2 (a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\)) - k1 (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
11. \!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[k1_, a1_, k2_, a2_] := -((a1 - k1 \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - (a2 - k2 \!\(\*OverscriptBox[\(a2\), \(_\)]\)))/(k1 - k2));
    
12. e' = Simplify@Jd[-k[d, e], mDE, kEE', e]; \!\(\*OverscriptBox[\(e'\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k[d, e], mDE, kEE', e];
    
13. f' = Simplify@Jd[-k[d, f], mDF, kFF', f]; \!\(\*OverscriptBox[\(f'\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jd\), \(_\)]\)[-k[d, f], mDF, kFF', f];
    
14. (*EF的中点坐标为：*)   b = (e + f)/2;   \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\))/2;
    
15. (*DE'的中点坐标为：*) a = (d + e')/2; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(e'\), \(_\)]\))/2;
    
16. (*DF'的中点坐标为：*) c = (d + f')/2; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = (\!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) + \!\(\*OverscriptBox[\(f'\), \(_\)]\))/2;
    
17. Print["E' = ", e', "，  F' = ",   f']; Print["A = ", a, "，  B = ", b, "，  C = ", c];
    
18. SimpleFuc :=  Factor[#, Extension -> Sqrt[3]] &@(FactorTerms[Numerator[#]] FactorTerms[Denominator[#]]) &;(*简化分式的函数*)
    
19. Print["AB^2 = ", SimpleFuc[(a - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\))]];
    
20. Print["AC^2 = ", SimpleFuc[(a - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))]];
    
21. Print["BC^2 = ", SimpleFuc[(b - c) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))]];
    
22. Print["由于三角形ABC各边长度的平方相等，故三边相等，所以它是一个正三角形。"];

复制代码

王守恩

\(DE=2\sin(F),DF=2\sin(E),EF=2\sin(E+F),\)

\(AB^2=\big(\sqrt{3}\sin(F)\big)^2+\big(\sin(E+F)\big)^2-2\sqrt{3}\sin(F)\sin(E+F)\cos(30+E)\)

\(BC^2=\big(\sqrt{3}\sin(E)\big)^2+\big(\sin(E+F)\big)^2-2\sqrt{3}\sin(E)\sin(E+F)\cos(30+F)\)

\(AC^2=\big(\sin(F)\big)^2+\big(\sin(E)\big)^2-2\sin(F)\sin(E)\sin(30-E-F)\)

\(化简可知:\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{AC}=1\)

数学小白新

设DE中点为M，则有\(\triangle AMB \cong \triangle ADC\)

luyuanhong

楼上 数学小白新 的解法思路很好！下面是根据这一思路的详细解答过程：

ccmmjj126

我的解法大同小异如下：

其实这道题不在于本题的证明，而是它的推演，比如下面的例子：
从ΔDEF向外作正三角形DEE',DFF'，A,B,C分别是EF,EE',FF'的中点，求证：ABC是顶角为120度的等腰三角形。

证明方法应该是一样的。