给定 ΔABC，求 P 点，D,E,F 是 P 到三边的垂足，使得 ΔDEF 三角为 75°,45°,60°

天山草

  

数学小白新

密克尔三角形。

天山草

@数学小白新：  对于给定的三角形 ABC，P 点的位置是唯一的吧？ D、E、F 的位置也是唯一的吧？

数学小白新

老师有兴趣的话，可以做一下这题：

天山草

此题，对于确定的三角形 ABC，P 点的位置只有唯一解。这是因为不但要满足三个角分别是 75、45、60 度的要求，还要满足 PD、PE、PF 分别垂直于三边的要求。

具体对于这道题，AB=1.81627，AC=1.32731，BC=1.91436，外接圆半径等于 1，BD=1.01476，CE=0.6233，BF=0.93988，
PA=0.99456，PB=1.05062，PC=0.93987。不会再有其它的解。
上面只是数字解，要得到一个 P 点位置的理论公式，是非常困难的。

王守恩

老办法(给出还没有化简的算式)。5楼的图。∠PDE=u, ∠PFD=v, ∠PEF=w,
BC=sin(a)=DB+DC, CA=sin(b)=EC+EA, AB=sin(c)=FA+FB,  a,b,c 可以是任意数。

1. Table[NSolve[{(Sin[u Pi/180] Sin[v Pi/180] Sin[w Pi/180])/
   
2. (Sin[(75 - u) Pi/180] Sin[(60 - v) Pi/180] Sin[(45 - w) Pi/180]) == 1,
   
3. Sin[a Pi/180] == (k Sin[45 Pi/180] Sin[(90 - v)Pi/180])/Sin[b Pi/180]
   
4. +(k Sin[60 Pi/180]Sin[(w+45) Pi/180])/Sin[c Pi/180],
   
5. (k Sin[45 Pi/180])/Sin[b Pi/180]==DB/Cos[v Pi/180]==FB/Sin[(u+15)Pi/180],
   
6. (k Sin[60 Pi/180])/Sin[c Pi/180]==EC/Cos[u Pi/180]==DC/Sin[(w+45)Pi/180],
   
7. (k Sin[75 Pi/180])/Sin[a Pi/180]==FA/Cos[w Pi/180]==EA/Sin[(v+30)Pi/180],
   
8. c + w - u == 45, a + v - w == 60, b + u - v == 75, 90 > u > 0, v > 0},
   
9. {DB, DC, EC, EA, FA, FB, k, u, v, w}],{a,41,41},{b,83,83},{c,180-a-b,180-a-b}]

复制代码

{{{{{DB -> 0.24298, DC -> 0.413079, EC -> 0.392593, EA -> 0.599953, FA -> 0.605951,
FB -> 0.223087, k -> 0.437253, u -> 30.7378, v -> 38.7378, w -> 19.7378}}}}}
有趣的是:   只要 a,b,c 是整数,    u,v,w 的小数部分就相同。

ccmmjj126

天山草 发表于 2023-7-23 12:04
@数学小白新：  对于给定的三角形 ABC，P 点的位置是唯一的吧？ D、E、F 的位置也是唯一的吧？

我弱弱的回复一下：这题挺漂亮的 ，经我研究，解不是唯一的。

ccmmjj126

题目和具体数值无关吧？解也不是唯二，而是最多有六个。怎么说呢，数学小白新的解答很好，同一个密克点的三角形相似，但不代表不同密克点的三角形就不相似，明白吗？将他的解答中有三个点进行轮换、对换，一帮有六种不同的结果，所以最多有六个解。这就是逻辑的力量。
你如果不明白我讲的东西，就看一个最简单的例子吧：比如说你给定的三角形是等边三角形，按照上述解法求出一个密克点，当然这个点不在三角形对称轴上。但这个正三角形被三条对称轴分成六个全等的部分，每个部分的对应位置都有类似的一个点，从这个点做出的对应三角形都是一样的满足条件。