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x 为大于 0 小于 13 的实数,求 √(27+x)+√(13-x)+√x 的最大值

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发表于 2023-8-7 21:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 H2L 于 2023-8-9 04:44 编辑

单变量柯西不等式求最值问题系数如何配凑

比如用柯西不等式求√(27+x)+√(13-x)+√(x)最大值为什么配231的系数
 楼主| 发表于 2023-8-7 21:37 | 显示全部楼层
待定系数的话会有四次项
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发表于 2023-8-7 23:18 | 显示全部楼层
利用柯西不等式求最值的基本要点:
1)不等式放缩后是常数;
(2)各步放缩等号成立的条件互不矛盾.
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 楼主| 发表于 2023-8-8 00:24 | 显示全部楼层
Nicolas2050 发表于 2023-8-7 15:18
利用柯西不等式求最值的基本要点:
1)不等式放缩后是常数;
(2)各步放缩等号成立的条件互不矛盾.

对呀 就是感觉系数不好凑
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发表于 2023-8-8 22:38 | 显示全部楼层
柯西不等式求最值过程

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H2L
谢谢  发表于 2023-8-8 23:50
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发表于 2023-8-9 09:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2023-8-9 09:46 编辑

对于这个单变量函数,与其用柯西不等式求极值,不如求导更简便。

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很多人只是凑巧得到了答案,根本不知逻辑是否自洽。  发表于 2023-8-9 11:09
连单调性都没有证明,直接用驻点来求最值?你凭啥知道是最大值?  发表于 2023-8-9 11:09
H2L
有道理👍  发表于 2023-8-9 10:05
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发表于 2023-8-9 15:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2023-8-9 07:32 编辑

点评一下此题的2种解法
一、导数法是最基础和本质的方法,通用性强,熟练掌握后可解各种问题。此题不但可以求最小值,还可以求最大值。
需要注意的点,此函数是闭区间上连续可导函数,其必有最大值和最小值,可能位于2个端点或导数为0的位置。需要找出来逐一比较。
其次,导数为0,需要解高次方程所有解,不能只猜到一个简单解就下结论。

二、柯西不等式的针对性强,此处用于求最大值。其待定系数,也要解一个高次方程组,不一定容易。但好处是,只需要找到一组合理解即可,不用求所有解。此题比较容易猜到一组合理解。

点评

請問可求最小值嗎?  发表于 2023-8-9 16:40
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发表于 2023-8-9 16:40 | 显示全部楼层
可求最小值嗎
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发表于 2023-8-9 18:10 | 显示全部楼层
可以的啊!
1、将该函数定义为[0, 13]闭区间;其函数在此闭区间连续可导,则在此区间必有最大值最小值;最值分布在2个端点和导数为0处。
2、假设导数为0时的解只有一个,为x=9(我没验证过,假设如此)。那么f(0) = 27^0.5+13^0.5; f(13) = 40^0.5 +13^0.5; f(9) = 11. 则该函数的最大值为f(9) =11; 最小值为f(0)。
3、如果函数定义域为开区间(0, 13),该函数最大值为f(9) =11; 没有最小值,但是当x->0时,其值逼近27^0.5+13^0.5

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謝謝老師  发表于 2023-8-9 18:11
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