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\(朱火华勾股数组通解公式\)
\(设\left( \frac{x}{2}\right)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，且m>n{,}\ mn均为正整数，\)
\(x<\left( m-n\right){,}\ x为勾=a，m-n为股=b{,}\ \ m+n为弦=c{,}\)
\(x>\left( m-n\right){,}\ x为股=b{,}\ \ m-n为勾=a{,}\ \ m+n为弦=c{,}\)
\(则a^2+b^2=c^2\)
\(这个公式是我研究出来的，解决了古今中外数学家勾股不分，a b不分的问题，\)
\(勾股定理的定义是短边为勾，长边为股，斜边为弦。\)
\(设(x/2)^2=mn，其中x为大于等于4的偶数，且m﹥n，mn均为正整数，\)
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2\)
\(设x=mn，其中x为大于等于3的奇数，且m>n，mn均为正整数，\)
\(则x^2十[(m^2-n^2)/2]^2=[(m^2+n^2)/2]^2\)
\(设x=m+n，其中x为大于等于2的正整数，且mn均为正整数，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2\)
\(设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m>n，mn均为正整数，\)
\( 则[x(m-n)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)
一，
\(设(x/2)^2=mn{,}其中x为\ge4的偶数，\)
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2\)
\(若m n一奇一偶没有大于1的公倍数\)，
\(则x^2+(m-n)^2=(m+n)^2为勾股数本原解数组。\)
\(计算n的方法，是由分解(x/2)^2得到，\)
\((x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}\ 其中F为质因数，\)
\(取这些因数重组小于(x/2)的数积为n。(x/2)^2/n=m。\)
\(详解：根据(x/2)^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}首先计算出1和全部质因数各自从\)
\(1到n次方的积数，去掉大于等于(x/2)的积数后重组，(同底数的数不能重组)\)
\(再去掉大于等于(x/2)的积数，余下的数为n。\)
\(实例：计算x=60的全部勾股数，\)
\((60/2)^2=900=1\times2^2\times3^2\times5^2{,}\)
\(1^1=1{,}\ \ 2^1=2{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}\)
\(2^2=4{,}\ \ 3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}\)
\(2\times3=6{,}\ 2\times5=10{,}\ \ 3\times4=12{,}\ \ 3\times5=15{,}\ \ 2\times9=18{,}\ \ 4\times5=20{,}\)
\(即n小于30的数有1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，25。(13个)\)
\(根据公式(X/2)^2/n=m。\)
\(所以\)
\(n=1, m=900。 n=2，m=450。 n=3， m=300。 n=4， m=225。\)
\(n=5， m=180。 n=6，m=150。 n=9， m=100。 n=10，m=90。\)
\(n=12，m=75。 n=15, m=60。 n=18，m=50。 n=20，m=45。\)
\(n=25，m=36。\)
\(代入公式得：\)
\(60^2+(900-1)^2=(900+1)^2(本原解）\)
\(60^2+(450-2)^2=(450+2)^2\)
\(60^2+(300-3)^2=(300+3)^2\)
\(60^2+(225-4)^2=(225+4)^2(本原解）\)
\(60^2+(180-5)^2=(180+5)^2\)
\(60^2+(150-6)^2=(150+6)^2\)
\(60^2+(100-9)^2=(100+9)^2(本原解）\)
\(60^2+(90-10)^2=(90+10)^2\)
\(60^2+(75-12)^2=(75+12)^2\)
\(60^2+(60-15)^2=(60+15)^2\)
\(60^2+(50-18)^2=(50+18)^2\)
\(60^2+(45-20)^2=(45+20)^2\)
\(60^2+(36-25)^2=(36+25)^2(本原解）\)
\(实例：\)
\((x/2)^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)\)
\((4/2)^2=4\times1，(3，4，5)(本原解）\)
\((6/2)^2=9\times1，(8，6，10)(本原解）\)
\((8/2)^2=16\times1，(15，8，17)(本原解）\)
\((8/2)^2=8\times2，(6，8，10)\)
\((10/2)^2=25\times1，(24，10，26)(本原解）\)
\((12/2)^2=36\times1，(35，12，37)(本原解）\)
\((12/2)^2=18\times2，(16，12，20)\)
\((12/2)^2=12\times3，(9，12，15)\)
\((12/2)^2=9\times4，(5，12，13)(本原解）\)
\((14/2)^2=49\times1，(48，14，50)\)
\(\cdots\cdots。\)
二，
\(设x^2=mn，(其中X为\ge3的奇数){,}且m>n{,}\ m{,}n均为正整数，\)
\(则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2。\)
\(若mn没有大于1的公约数，\)
\(则x^2+[(m-n)/2]^2=[(m+n)/2]^2为勾股数本愿解数组。\)
\(计算n的方法，是由分解X^2得到，\)
\(X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中F为质因数)\)
\(取这些因数重组小于X的数积为n{,}(X^2)/n=m。\)
\(详解：根据X^2=1\times F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}，首先计算出1和全部质因数各自从1到n次方的积数，\)
\(去掉大于等于X的积数后重组，(同底数的数不能重组)再去掉大于等于X的积数，余下的数为n。\)
\(实例：计算X=15时全部勾股数\)
\(X=15{,}\ \ 15^2=1\times3^2\times5^2{,}\)
\(1^1=1{,}\ \ 3^1=3{,}\ \ 5^1=5{,}\)
\(3^2=9{,}\ \ 5^2=25{,}\)
\(即n小于15的数有1，3，5，9。(4个)\)
\(根据公式X^2/n=m。\)
\(所以n=1{,}\ \ m=225。n=3，m=75。n=5，m=45。n=9，m=25。\)
\(代入公式得：\)
\(15^2+[(225-1)/2]^2=[(225+1)/2]^2(本原解）\)
\(15^2+[(75-3)/2]^2=(75+3)/2]^2\)
\(15^2+[(45-5)/2]^2=[(45+5)/2]^2\)
\(15^2+[(25-9)/2]^2=[(25+9)/2]^2(本原解）\)
\(实例：\)
\(x^2=mn，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(3^2=9\times1，(3，4，5)(本原解）\)
\(5^2=25\times1，(5，12，13)(本原解）\)
\(7^2=49\times1，(7，24，25)(本原解）\)
\(9^2=81\times1，(9，40，42)(本原解）\)
\(9^2=27\times3，\left( 9，12，15\right)\)
\(11^2=121\times1，(11，60，61)(本原解）\)
\(13^2=169\times1，(13，84，85)(本原解）\)
\(15^2=225\times1，(15，112，113)(本原解）\)
\(15^2=75\times3，(15，36，39)\)
\(15^2=45\times5，(15，20，25)\)
\(15^2=25\times9，(15，8，17)(本原解）\)
\(\cdots\cdots。\)
三，
\(X为勾全部解的解数公式\)
\(计算全部解的解数方法，是由分解X质因数中的指数得到，与底数无关。\)
\(X=F_1^{n1}\times F_2^{n2}\times\cdots\times F_n^{nn}{,}(其中X为\ge3的正整数，F为质因数，n为指数)\)
\(设X为勾全部解的解数为L,指数的对应数为2n+1。\)
\(则X(奇数），L=[(2n_1+1)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2\)
\(则X(偶数），L=[(2n_1+1-2)(2n_2+1)\dots(2n_n+1)-1]/2\)
\(实例X=15{,}\ \ 15=3^1\times5^1{,}\)
\(代入公式得[(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=4组。\)
\(实例：X=60{,}\ \ 60=2^2\times3^1\times5^1{,}\)
\(代入公式得 [(2×2+1-2)×(2×1+1)×(2×1+1)-1]/2=13组，\)
四，
\(设x=m+n，其中x为\ge2的正整数，且mn均为正整数，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2，\)
\(若(x+n)是奇数，且与m互质，\)
\(则[m(x+n)]^2+(2xn)^2=(x^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。\)
\(实例：\)
\(x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(2=1+1， (3， 4，5) (本原解）\)
\(3=1+2， (5，12，13) (本原解）\)
\(3=2+1， (8，6，10) \)
\(4=1+3， (7，24，25) (本原解）\)
\(4=2+2， (12，16，20)\)
\(4=3+1， (15，8，17) (本原解）\)
\(5=1+4， (9，40，41) (本原解）\)
\(5=2+3， (16，30，34)\)
\(5=3+2， (21，20，29) (本原解）\)
\(5=4+1， (24，10，26)\)
\(6=1+5， (11，60，61) (本原解）\)
\(6=2+4， (20，48，52) \)
\(6=3+3， (27，36，45) \)
\(6=4+2， (32，24，40)\)
\(6=5+1， (35，12，37) (本原解）\)
\(\cdots\cdots。\)
五，
\(设x=m+n，其中x为大于等于3的正整数，且m<n<x, x m n均为正整数，\)
\(则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\)
\(若x是奇数，且m与n互质,\)
\(则[x(n-m)]^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2为勾股数本原解数组。\)
\(实例：\)
\( x=m+n，代入公式得(勾，股，弦)\)
\(3=1+2， (3， 4， 5) (本原解） \)
\(4=1+3， (8，6，10)\)
\(5=1+4， (15，8，17) (本原解）\)
\(5=2+3， (5，12，13) (本原解）\)
\(6=1+5， (24，10，26)\)
\(6=2+4， (12，16，20)\)
\(7=1+6， (35，12，37) (本原解）\)
\(7=2+5， (21，20，29) (本原解）\)
\(7=3+4， (7，24，25) (本原解）\)
\(8=1+7， (48，14，50) \)
\(8=2+6， (32，24，40)\)
\(8=3+5， (16，30，34)\)
\(\cdots\cdots。\)
六，
\(连续平方和趣题：\)
\(求出n+1个连续平方数之和等于n个连续平方数之和的通解公式。\)
\(3^2+4^2=5^2\)
\(10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\)
\(21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2\)
\(36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2\)
\(\cdots\cdots。\)
\(左边n+1个连续平方数之和=右边n个连续平方数之和，其通解公式如下：\)
\(左右共有2n+1个连续正整数，第1个正整数是n(2n+1), \)
\(最后1个正整数是n(2n+3),中间数是n(2n+1)+n。\)
\(左边第1个正整数是n(2n+1)，最后1个正整数是n(2n+1)+n，\)
\(右边第1个正整数是n(2n+1)+n+1，最后1个正整数是n(2n+3)。\)
\(设n为大于等于1的正整数，x为连续正整数中的第n个正整数，且x小于等于(2n+1)，\)
\(则n(2n+1)+(x-1)=z。\)
七，
\(设x=(a+b+…+n)为大于等于3的奇数，\)
\((a^2+b^2+\cdots+n^2)为y，其中abn均为正整数，\)
\(则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x^2-1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x^2+1)}{2}-\frac{(x^2-y)}{2}\right\}^2\)
\(实例：x=5{,}\ \ \ \ \ 5^2+12^2=13^2{,}\)
\(5=1+1+1+1+1{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+2^2=3^2，\)
\(5=1+1+1+2{,}代入公式得1^2+1^2+1^2+2^2+3^2=4^2，\)
\(5=1+1+3{,}代入公式得1^2+1^2+3^2+5^2=6^2，\)
\(5=1+2+2{,}代入公式得1^2+2^2+2^2+4^2=5^2，\)
\(5=1+4{,}代入公式得1^2+4^2+8^2=9^2，\)
\(5=2+3{,}代入公式得2^2+3^2+6^2=7^2，\)
简化公式：
\(设(a^2+b^2+\cdots+n^2)=x{,}其中(a+b+\cdots+n)为大于等于3的奇数，且abnx均为正整数，\)
\(则a^2+b^2+\cdots+n^2+\left\{ \frac{(x-1)}{2}\right\}^2=\left\{ \frac{(x+1)}{2}\right\}^2\)
八，
\(设x为任意正整数，\)
\(则x^2+(x+1)^2+[x(x+1)]^2=[x(x+1)+1]^2。\)
\(x=1{,}代入公式得，1^2+2^2+2^2=3^2，\)
\(x=2{,}代入公式得，2^2+3^2+6^2=7^2，\)
\(x=3{,}代入公式得，3^2+4^2+12^2=13^2，\)
\(x=4{,}代入公式得，4^2+5^2+20^2=21^2\)
\(\cdots\cdots。\)
九，
\(设x为大于等于2的正整数，n为任意正整数，x又为公式中的前项个数，\)
\(则x^n+x^n+\cdots+x^n=x^{(n+1)}){,}\ \ \ \ \ \ \ 简化公式：x(x^n)=x^{(n+1)}\)
\(x=2，\ \ \ 2^n+2^n=2^{(n+1)，}，\)
\(x=3，\ \ \ 3^n+3^n+3^n=3^{(n+1)}，\)
\(x=4，\ \ \ 4^n+4^n+4^n+4^n=4^{(n+1)，}，\)
\(\cdots\cdots。\)
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发表于 2023-8-15 17:10
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