折四边形BEDF中，A=BF∩DE，C=BE∩DF，证明A,C到EF距离倒数和等于B,D到EF距离倒数和

天山草

折四边形是有对顶角的两个三角形，例如凸四边形的两条对边和两条对角线就组成折四边形。折四边形也称为蝶形。

天山草

此题用纯几何方法解，《几何瑰宝》下册 198 - 199 页给出的解答如下：

证明： 过 A、C、E 作圆交 EF 所在直线于点 M，连接 AC 并延长交 EF 于点 O。易证\(△AOE∽△MOC\) 及 \(△CEO∽△MAO\)，所以
\(\frac{AE}{MC}=\frac{AO}{MO}\frac{CE}{AM}=\frac{CO}{MO}\)，从而有 \(\frac{AE}{MC}\frac{AM}{CE}=\frac{AO}{CO}\)。
考虑 \(△ACE\)，直线 \(AF、CF、EF\)分别交 \(△ABC\)三边 \(CE、AE、AC\)所在直线于 \(B、D、O\)，则由引理有
\(\frac{AO}{OC}\frac{CB}{BE}\frac{ED}{DA}=1\)
所以 \(\frac{AE}{MC}\frac{AM}{CE}=\frac{AD}{BC}\frac{BE}{DE}\)。
设\(A、C、E、M\)四点所在圆的直径为\(2R\)，则
\(AM=2R sin∠AEM\)，\(CM=2R sin∠CEM\)
因此有 \(\frac{AE sin∠AEM}{CE sin∠CEM}=\frac{AD}{BC}\frac{BE}{DE}\)
即 \(\frac{BC}{BE ·CE sin∠CEM}=\frac{AD}{AE ·DE sin∠AEM}\)
\(\frac{BE-CE}{BE ·CE sin∠CEM}=\frac{AE-DE}{AE ·DE sin∠AEM}\)
\(\Longleftrightarrow\)
\((\frac{1}{CE}-\frac{1}{BE}) ·\frac{1}{sin∠CEM}=(\frac{1}{DE}-\frac{1}{AE}) ·\frac{1}{sin∠AEM}\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\frac{1}{CE·sin∠CEM}-\frac{1}{BE·sin∠CEM} =\frac{1}{DE·sin∠AEM}-\frac{1}{AE·sin∠AEM}\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\frac{1}{d_C}-\frac{1}{d_B} =\frac{1}{d_D}-\frac{1}{d_A}\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\frac{1}{d_A}+\frac{1}{d_C} =\frac{1}{d_B}+\frac{1}{d_D}\)

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子已收藏。

ccmmjj126

我曾经独立发现和证明过这个结论。其实也有其他网友证明过，所以一看就很熟悉。搜了一下，给出网址，仅供草兄参考。
http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2050706

luyuanhong

下面是网友 kanyikan 过去在《数学中国》论坛上发表过的一个帖子：

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：